Номер 796, страница 175 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

796. Нагреватель в электрочайнике состоит из двух секций равного сопротивления. При подключении одной секции к источнику постоянного напряжения вода в чайнике закипает через время $\tau_1 = 22 \text{ мин.}$. Определите, через какой промежуток времени после начала нагревания закипит вода в чайнике, если обе секции соединить между собой параллельно и подключить их к тому же источнику напряжения. Масса и изменение температуры воды в обоих случаях одинаковые. Сопротивления секций не зависят от условий работы электрочайника. Потерями энергии пренебречь.

Дано:

Сопротивление первой секции: $R_1 = R$

Сопротивление второй секции: $R_2 = R$

Время закипания с одной секцией: $\tau_1 = 22 \text{ мин} = 1320 \text{ с}$

Напряжение источника: $U$

Масса и изменение температуры воды в обоих случаях одинаковы.

Найти:

Время закипания с двумя секциями, соединенными параллельно: $\tau_2$

Решение:

Количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания воды до кипения, определяется формулой $Q = cm\Delta T$, где $c$ — удельная теплоемкость воды, $m$ — масса воды, $\Delta T$ — изменение температуры. По условию задачи, масса и изменение температуры воды в обоих случаях одинаковы, следовательно, необходимое количество теплоты $Q$ также одинаково.

По закону Джоуля-Ленца, количество теплоты, выделяемое нагревателем, равно работе электрического тока. Пренебрегая потерями энергии, можно записать:

$Q = P \cdot \tau = \frac{U^2}{R_{общ}} \cdot \tau$

где $U$ — напряжение источника, $R_{общ}$ — общее сопротивление нагревателя, а $\tau$ — время нагревания.

В первом случае, когда работает только одна секция, общее сопротивление цепи равно сопротивлению этой секции:

$R_{общ1} = R$

Тогда количество теплоты, необходимое для закипания, равно:

$Q = \frac{U^2}{R} \cdot \tau_1$

Во втором случае обе секции соединены параллельно. Общее сопротивление $R_{общ2}$ для двух одинаковых резисторов $R$, соединенных параллельно, вычисляется по формуле:

$\frac{1}{R_{общ2}} = \frac{1}{R} + \frac{1}{R} = \frac{2}{R}$

Отсюда находим общее сопротивление:

$R_{общ2} = \frac{R}{2}$

Количество теплоты, выделяемое за время $\tau_2$, в этом случае равно:

$Q = \frac{U^2}{R_{общ2}} \cdot \tau_2 = \frac{U^2}{R/2} \cdot \tau_2 = \frac{2U^2}{R} \cdot \tau_2$

Так как количество теплоты $Q$ в обоих экспериментах одинаково, мы можем приравнять выражения для $Q$:

$\frac{U^2}{R} \cdot \tau_1 = \frac{2U^2}{R} \cdot \tau_2$

Сократим обе части уравнения на общий множитель $\frac{U^2}{R}$:

$\tau_1 = 2\tau_2$

Отсюда выражаем искомое время $\tau_2$:

$\tau_2 = \frac{\tau_1}{2}$

Подставляем известное значение $\tau_1$:

$\tau_2 = \frac{22 \text{ мин}}{2} = 11 \text{ мин}$

Ответ: 11 мин.