Номер 790, страница 174 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

790. Четыре одинаковых резистора $R_1$, $R_2$, $R_3$ и $R_4$ подключены к источнику постоянного напряжения (рис. 159). При этом в третьем резисторе выделяется за некоторое время количество теплоты $Q_3 = 18$ Дж. Определите количество теплоты, которое выделится за такое же время в третьем резисторе, если четвертый резистор отключить.

Рис. 159

Дано

$R_1 = R_2 = R_3 = R_4 = R$

$Q_3 = 18 \text{ Дж}$

$U = \text{const}$

$t = \text{const}$

Найти:

$Q'_3$

Решение

Задача решается в два этапа. Сначала рассмотрим исходную схему, а затем схему с отключенным четвертым резистором. Количество теплоты, выделяемое в резисторе, определяется законом Джоуля-Ленца: $Q = I^2Rt = \frac{U_R^2}{R}t$, где $I$ — сила тока через резистор, $U_R$ — напряжение на резисторе, $R$ — его сопротивление, а $t$ — время.

1. Исходная схема.

В исходной схеме резисторы $R_3$ и $R_4$ соединены параллельно. Так как их сопротивления одинаковы ($R_3 = R_4 = R$), их общее сопротивление $R_{34}$ равно:

$R_{34} = \frac{R_3 \cdot R_4}{R_3 + R_4} = \frac{R \cdot R}{R + R} = \frac{R^2}{2R} = \frac{R}{2}$

Резисторы $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно с участком $R_{34}$. Общее сопротивление всей цепи $R_{общ}$ составляет:

$R_{общ} = R_1 + R_2 + R_{34} = R + R + \frac{R}{2} = 2.5R$

Общий ток $I_{общ}$ в цепи, согласно закону Ома для полной цепи, равен:

$I_{общ} = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{2.5R} = \frac{2U}{5R}$

Этот ток, проходя через последовательные резисторы $R_1$ и $R_2$, разветвляется на параллельные ветви с резисторами $R_3$ и $R_4$. Поскольку $R_3 = R_4$, ток разделится поровну. Сила тока через резистор $R_3$ будет:

$I_3 = \frac{I_{общ}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{2U}{5R} = \frac{U}{5R}$

Количество теплоты $Q_3$, выделившееся в резисторе $R_3$ за время $t$:

$Q_3 = I_3^2 R_3 t = \left(\frac{U}{5R}\right)^2 R t = \frac{U^2 R t}{25R^2} = \frac{U^2 t}{25R}$

По условию, $Q_3 = 18 \text{ Дж}$.

2. Схема с отключенным резистором $R_4$.

После отключения резистора $R_4$ в цепи остаются резисторы $R_1$, $R_2$ и $R_3$, соединенные последовательно. Новое общее сопротивление цепи $R'_{общ}$ будет:

$R'_{общ} = R_1 + R_2 + R_3 = R + R + R = 3R$

Новый ток $I'_{общ}$ в цепи:

$I'_{общ} = \frac{U}{R'_{общ}} = \frac{U}{3R}$

Этот ток протекает через все элементы цепи, включая $R_3$. Таким образом, новый ток через третий резистор $I'_3 = I'_{общ}$.

Новое количество теплоты $Q'_3$, которое выделится в резисторе $R_3$ за то же время $t$:

$Q'_3 = (I'_3)^2 R_3 t = \left(\frac{U}{3R}\right)^2 R t = \frac{U^2 R t}{9R^2} = \frac{U^2 t}{9R}$

3. Нахождение $Q'_3$.

Теперь мы можем найти отношение $Q'_3$ к $Q_3$, чтобы исключить неизвестные величины $U$, $t$ и $R$:

$\frac{Q'_3}{Q_3} = \frac{\frac{U^2 t}{9R}}{\frac{U^2 t}{25R}} = \frac{25}{9}$

Выразим и вычислим $Q'_3$:

$Q'_3 = Q_3 \cdot \frac{25}{9} = 18 \text{ Дж} \cdot \frac{25}{9} = 2 \cdot 25 \text{ Дж} = 50 \text{ Дж}$

Ответ: 50 Дж.