Номер 786, страница 173 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

786. Два одинаковых металлических кольца спаяны в точках A и B (рис. 157). Центральный угол $\alpha = 90^\circ$. Сначала кольца подключили к источнику постоянного напряжения в точках A и B. И в них выделялась тепловая мощность $P_1 = 8$ Вт. Определите мощность, которая будет выделяться в кольцах, если их подключить к тому же источнику тока в точках C и D.

Рис. 157

Дано:

Центральный угол $\alpha = 90^\circ$

Мощность при подключении в точках A, B: $P_1 = 8 \text{ Вт}$

Источник напряжения $U = \text{const}$

Найти:

$P_2$

Решение:

Мощность, выделяемая в цепи, определяется формулой $P = \frac{U^2}{R_{общ}}$, где $U$ — напряжение источника, а $R_{общ}$ — общее сопротивление цепи. Поскольку в обоих случаях используется один и тот же источник постоянного напряжения $U$, отношение мощностей обратно пропорционально отношению общих сопротивлений цепи:

$\frac{P_2}{P_1} = \frac{U^2/R_{общ,2}}{U^2/R_{общ,1}} = \frac{R_{общ,1}}{R_{общ,2}}$

Таким образом, задача сводится к определению общих сопротивлений $R_{общ,1}$ и $R_{общ,2}$ для двух вариантов подключения.

Пусть $R_0$ — сопротивление одного полного металлического кольца. Сопротивление любой дуги кольца прямо пропорционально ее центральному углу.

В первом случае источник подключается к точкам A и B. Цепь состоит из четырех параллельно соединенных участков: двух малых дуг AB и двух больших дуг AB (по одной малой и одной большой дуге на каждом кольце). Центральный угол малой дуги равен $\alpha = 90°$, поэтому ее сопротивление $R_{мал} = R_0 \frac{90^\circ}{360^\circ} = \frac{R_0}{4}$. Центральный угол большой дуги равен $360^\circ - 90^\circ = 270^\circ$, а ее сопротивление $R_{бол} = R_0 \frac{270^\circ}{360^\circ} = \frac{3R_0}{4}$.

Общее сопротивление $R_{общ,1}$ находится из условия параллельного соединения:

$\frac{1}{R_{общ,1}} = \frac{1}{R_{мал}} + \frac{1}{R_{бол}} + \frac{1}{R_{мал}} + \frac{1}{R_{бол}} = 2 \left( \frac{1}{R_0/4} + \frac{1}{3R_0/4} \right) = 2 \left( \frac{4}{R_0} + \frac{4}{3R_0} \right) = 2 \cdot \frac{12+4}{3R_0} = \frac{32}{3R_0}$

Отсюда находим первое общее сопротивление: $R_{общ,1} = \frac{3R_0}{32}$.

Во втором случае источник подключается к точкам C и D. Ток от C к D течет по двум симметричным параллельным ветвям. Верхняя ветвь состоит из последовательно соединенных дуги CA левого кольца и дуги AD правого кольца. Нижняя ветвь состоит из дуг CB и BD. Из-за симметрии сопротивления ветвей одинаковы.

Найдем сопротивление дуги CA. Из геометрии задачи следует, что центральные углы, соответствующие дугам, на которые опирается общая хорда AB, равны $90°$ для обоих колец. Точка C лежит на левом кольце на линии, соединяющей центры. Центральный угол, соответствующий дуге CA, составляет $135°$. Таким образом, сопротивление дуги CA равно $R_{CA} = R_0 \frac{135^\circ}{360^\circ} = \frac{3R_0}{8}$. Аналогично, из-за симметрии конструкции, сопротивление дуги AD на правом кольце также равно $R_{AD} = \frac{3R_0}{8}$.

Сопротивление одной ветви (например, верхней) равно сумме сопротивлений последовательно соединенных дуг:

$R_{ветви} = R_{CA} + R_{AD} = \frac{3R_0}{8} + \frac{3R_0}{8} = \frac{6R_0}{8} = \frac{3R_0}{4}$.

Общее сопротивление $R_{общ,2}$ для двух одинаковых параллельных ветвей равно половине сопротивления одной ветви:

$R_{общ,2} = \frac{R_{ветви}}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{3R_0}{4} = \frac{3R_0}{8}$.

Теперь мы можем вычислить искомую мощность $P_2$:

$P_2 = P_1 \cdot \frac{R_{общ,1}}{R_{общ,2}} = 8 \text{ Вт} \cdot \frac{3R_0/32}{3R_0/8} = 8 \cdot \frac{8}{32} = 8 \cdot \frac{1}{4} = 2 \text{ Вт}$.

Ответ: 2 Вт.