Номер 785, страница 172 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

785. Проволочное кольцо подключено к источнику постоянного электрического напряжения так, что контакты делят длину кольца в соотношении 1 : 2. При этом в кольце выделяется мощность $P = 2,7 \text{ Вт}$. Какая мощность будет выделяться в кольце, если контакты расположить:

а) по диаметру кольца;

б) в точках, делящих кольцо в соотношении 1 : 3?

Дано:
Начальное соотношение длин дуг: $k_1 = 1:2$
Начальная мощность: $P_1 = 2,7$ Вт
Напряжение источника постоянно: $U = \text{const}$

Найти:
$P_а$ - мощность при делении кольца по диаметру (соотношение $1:1$)
$P_б$ - мощность при делении кольца в соотношении $1:3$

Решение:
Пусть $R_0$ — полное сопротивление проволочного кольца. Когда контакты подключаются к кольцу, они делят его на две дуги, которые оказываются соединены параллельно. Сопротивление дуги пропорционально её длине. Мощность, выделяемая в кольце, определяется формулой $P = \frac{U^2}{R_{общ}}$, где $U$ — постоянное напряжение источника, а $R_{общ}$ — общее сопротивление цепи.

В начальном состоянии кольцо разделено в соотношении $1:2$. Это значит, что сопротивления двух дуг равны $R_a = \frac{1}{1+2}R_0 = \frac{1}{3}R_0$ и $R_b = \frac{2}{1+2}R_0 = \frac{2}{3}R_0$. Общее сопротивление в этом случае: $R_1 = \frac{R_a R_b}{R_a + R_b} = \frac{(\frac{1}{3}R_0)(\frac{2}{3}R_0)}{\frac{1}{3}R_0 + \frac{2}{3}R_0} = \frac{\frac{2}{9}R_0^2}{R_0} = \frac{2}{9}R_0$.

Начальная мощность равна: $P_1 = \frac{U^2}{R_1} = \frac{U^2}{\frac{2}{9}R_0} = \frac{9U^2}{2R_0} = 2,7$ Вт.

Из этого соотношения мы можем выразить величину $\frac{U^2}{R_0}$, которая является постоянной для данной задачи: $\frac{U^2}{R_0} = \frac{2 \cdot P_1}{9} = \frac{2 \cdot 2,7}{9} = \frac{5,4}{9} = 0,6$ Вт.

а) Если контакты расположены по диаметру, то кольцо делится на две равные части, то есть в соотношении $1:1$. Сопротивления дуг будут $R_a = \frac{1}{2}R_0$ и $R_b = \frac{1}{2}R_0$. Общее сопротивление $R_а$ в этом случае: $R_а = \frac{(\frac{1}{2}R_0)(\frac{1}{2}R_0)}{\frac{1}{2}R_0 + \frac{1}{2}R_0} = \frac{\frac{1}{4}R_0^2}{R_0} = \frac{1}{4}R_0$.

Тогда мощность $P_а$ будет равна: $P_а = \frac{U^2}{R_а} = \frac{U^2}{\frac{1}{4}R_0} = 4 \frac{U^2}{R_0} = 4 \cdot 0,6 = 2,4$ Вт.

Ответ: 2,4 Вт.

б) Если контакты делят кольцо в соотношении $1:3$, то сопротивления дуг будут $R_a = \frac{1}{1+3}R_0 = \frac{1}{4}R_0$ и $R_b = \frac{3}{1+3}R_0 = \frac{3}{4}R_0$. Общее сопротивление $R_б$ в этом случае: $R_б = \frac{(\frac{1}{4}R_0)(\frac{3}{4}R_0)}{\frac{1}{4}R_0 + \frac{3}{4}R_0} = \frac{\frac{3}{16}R_0^2}{R_0} = \frac{3}{16}R_0$.

Тогда мощность $P_б$ будет равна: $P_б = \frac{U^2}{R_б} = \frac{U^2}{\frac{3}{16}R_0} = \frac{16}{3} \frac{U^2}{R_0} = \frac{16}{3} \cdot 0,6 = 16 \cdot 0,2 = 3,2$ Вт.

Ответ: 3,2 Вт.