Номер 783, страница 172 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

783. Две электрические лампочки с номинальными мощностями $P_1 = 5 \text{ Вт}$ и $P_2 = 20 \text{ Вт}$, рассчитанные на одинаковое напряжение $U$, соединены последовательно и подключены к клеммам аккумулятора с напряжением $U$. Какие мощности потребляют лампочки? Сопротивление лампочек считать постоянным.

Дано:

Номинальная мощность первой лампочки, $P_1 = 5$ Вт

Номинальная мощность второй лампочки, $P_2 = 20$ Вт

Номинальное напряжение лампочек и напряжение источника: $U$

Соединение: последовательное

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Потребляемая мощность первой лампочки $P'_1$ — ?

Потребляемая мощность второй лампочки $P'_2$ — ?

Решение:

Номинальная мощность $P$ лампочки связана с ее сопротивлением $R$ и номинальным напряжением $U$ формулой: $P = \frac{U^2}{R}$. Отсюда можно выразить сопротивление каждой лампочки, так как по условию их сопротивление постоянно:

$R_1 = \frac{U^2}{P_1}$

$R_2 = \frac{U^2}{P_2}$

При последовательном соединении лампочек их общее сопротивление $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений:

$R_{общ} = R_1 + R_2 = \frac{U^2}{P_1} + \frac{U^2}{P_2} = U^2 \left( \frac{1}{P_1} + \frac{1}{P_2} \right) = U^2 \frac{P_1 + P_2}{P_1 P_2}$

Согласно закону Ома для полной цепи, сила тока $I$, протекающего через обе лампочки, одинакова и равна:

$I = \frac{U}{R_{общ}} = \frac{U}{U^2 \frac{P_1 + P_2}{P_1 P_2}} = \frac{P_1 P_2}{U(P_1 + P_2)}$

Фактическая мощность, потребляемая каждой лампочкой в данной цепи, определяется по формуле $P' = I^2 R$.

Найдем мощность, потребляемую первой лампочкой:

$P'_1 = I^2 R_1 = \left( \frac{P_1 P_2}{U(P_1 + P_2)} \right)^2 \cdot \frac{U^2}{P_1} = \frac{P_1^2 P_2^2}{U^2 (P_1 + P_2)^2} \cdot \frac{U^2}{P_1} = \frac{P_1 P_2^2}{(P_1 + P_2)^2}$

Подставим числовые значения:

$P'_1 = \frac{5 \cdot 20^2}{(5 + 20)^2} = \frac{5 \cdot 400}{25^2} = \frac{2000}{625} = 3.2$ Вт

Теперь найдем мощность, потребляемую второй лампочкой:

$P'_2 = I^2 R_2 = \left( \frac{P_1 P_2}{U(P_1 + P_2)} \right)^2 \cdot \frac{U^2}{P_2} = \frac{P_1^2 P_2^2}{U^2 (P_1 + P_2)^2} \cdot \frac{U^2}{P_2} = \frac{P_1^2 P_2}{(P_1 + P_2)^2}$

Подставим числовые значения:

$P'_2 = \frac{5^2 \cdot 20}{(5 + 20)^2} = \frac{25 \cdot 20}{25^2} = \frac{20}{25} = 0.8$ Вт

Ответ:

Мощность, потребляемая первой лампочкой (с номинальной мощностью 5 Вт), составляет $P'_1 = 3.2$ Вт; мощность, потребляемая второй лампочкой (с номинальной мощностью 20 Вт), составляет $P'_2 = 0.8$ Вт.