Номер 777, страница 171 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

777. Участок электрической цепи состоит из лампочки, амперметра и вольтметра, соединенных последовательно. На концах цепи поддерживается постоянное напряжение $U_0 = 6$ В. При подключении резистора параллельно вольтметру показания вольтметра уменьшаются в $n = 2$ раза, а показания амперметра возрастают в $k = 2$ раза. Определите показание вольтметра до подключения резистора.

Дано:

Напряжение на концах цепи $U_0 = 6$ В;
Коэффициент уменьшения показаний вольтметра $n=2$;
Коэффициент увеличения показаний амперметра $k=2$.

Найти:

Показание вольтметра до подключения резистора $U_1$.

Решение:

Обозначим сопротивление лампочки как $R_Л$, сопротивление амперметра как $R_А$ и сопротивление вольтметра как $R_В$.

1. Схема до подключения резистора.
Изначально лампочка, амперметр и вольтметр соединены последовательно. Общее сопротивление цепи $R_{общ1}$ равно сумме их сопротивлений: $R_{общ1} = R_Л + R_А + R_В$

Согласно закону Ома, сила тока в цепи, которую показывает амперметр, равна: $I_1 = \frac{U_0}{R_{общ1}} = \frac{U_0}{R_Л + R_А + R_В}$

Показание вольтметра $U_1$ (напряжение на нем) равно: $U_1 = I_1 \cdot R_В = \frac{U_0 \cdot R_В}{R_Л + R_А + R_В}$

2. Схема после подключения резистора.
Параллельно вольтметру подключают резистор с сопротивлением $R$. Эквивалентное сопротивление этого параллельного участка $R_{пар}$ равно: $R_{пар} = \frac{R \cdot R_В}{R + R_В}$

Новое общее сопротивление цепи $R_{общ2}$ теперь составляет: $R_{общ2} = R_Л + R_А + R_{пар}$

Новая сила тока в цепи, которую показывает амперметр: $I_2 = \frac{U_0}{R_{общ2}}$

Новое показание вольтметра $U_2$ (напряжение на параллельном участке): $U_2 = I_2 \cdot R_{пар}$

3. Использование условий задачи.
По условию, показания вольтметра уменьшились в $n$ раз: $U_2 = \frac{U_1}{n}$. Показания амперметра возросли в $k$ раз: $I_2 = k \cdot I_1$.

Подставим $I_2 = k \cdot I_1$ в формулу для $U_2$: $U_2 = (k \cdot I_1) \cdot R_{пар}$

Теперь используем соотношение для напряжений: $(k \cdot I_1) \cdot R_{пар} = \frac{I_1 \cdot R_В}{n}$

Сократив на $I_1$ (так как ток не равен нулю), получаем связь между сопротивлениями: $k \cdot R_{пар} = \frac{R_В}{n}$ или $R_{пар} = \frac{R_В}{kn}$

Теперь используем соотношение для токов $I_2 = k \cdot I_1$: $\frac{U_0}{R_{общ2}} = k \cdot \frac{U_0}{R_{общ1}}$

Отсюда следует, что $R_{общ1} = k \cdot R_{общ2}$.

Для удобства объединим сопротивления лампочки и амперметра: $R_{ЛА} = R_Л + R_А$. Тогда $R_{общ1} = R_{ЛА} + R_В$ и $R_{общ2} = R_{ЛА} + R_{пар}$.

Подставим эти выражения в $R_{общ1} = k \cdot R_{общ2}$: $R_{ЛА} + R_В = k \cdot (R_{ЛА} + R_{пар})$

Подставим ранее найденное выражение $R_{пар} = \frac{R_В}{kn}$: $R_{ЛА} + R_В = k \cdot \left( R_{ЛА} + \frac{R_В}{kn} \right)$ $R_{ЛА} + R_В = k \cdot R_{ЛА} + \frac{R_В}{n}$

Сгруппируем слагаемые, чтобы выразить $R_{ЛА}$ через $R_В$: $R_В - \frac{R_В}{n} = k \cdot R_{ЛА} - R_{ЛА}$ $R_В \left(1 - \frac{1}{n}\right) = R_{ЛА} (k-1)$ $R_В \frac{n-1}{n} = R_{ЛА} (k-1)$ $R_{ЛА} = R_В \frac{n-1}{n(k-1)}$

4. Расчет $U_1$.
Вернемся к формуле для искомого напряжения $U_1$: $U_1 = \frac{U_0 \cdot R_В}{R_{ЛА} + R_В}$

Подставим в нее выражение для $R_{ЛА}$: $U_1 = \frac{U_0 \cdot R_В}{R_В \frac{n-1}{n(k-1)} + R_В}$

Вынесем $R_В$ в знаменателе за скобки и сократим: $U_1 = \frac{U_0 \cdot R_В}{R_В \left(\frac{n-1}{n(k-1)} + 1\right)} = \frac{U_0}{\frac{n-1}{n(k-1)} + 1}$

Упростим знаменатель: $\frac{n-1}{n(k-1)} + 1 = \frac{n-1 + n(k-1)}{n(k-1)} = \frac{n-1+nk-n}{n(k-1)} = \frac{nk-1}{n(k-1)}$

Тогда выражение для $U_1$ примет вид: $U_1 = U_0 \cdot \frac{n(k-1)}{nk-1}$

Подставим числовые значения из условия: $U_0 = 6$ В, $n=2$, $k=2$. $U_1 = 6 \cdot \frac{2(2-1)}{2 \cdot 2 - 1} = 6 \cdot \frac{2 \cdot 1}{4 - 1} = 6 \cdot \frac{2}{3} = 4$ В.

Ответ: 4 В.