Номер 774, страница 170 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

774. В электрической цепи, схема которой представлена на рисунке 153, амперметр показывает силу тока $I_A = 1,2 \text{ А}$. Сопротивление каждого резистора, включенного в цепь, $R = 100 \text{ Ом}$. Определите сопротивление вольтметра, если он показывает напряжение $U_V = 90 \text{ В}$.

Рис. 153

Дано

Сила тока амперметра: $I_A = 1,2$ А

Сопротивление каждого резистора: $R = 100$ Ом

Напряжение на вольтметре: $U_V = 90$ В

Найти:

Сопротивление вольтметра: $R_V$

Решение

Амперметр измеряет общий ток $I_A$ в цепи до разветвления. В узле этот ток разделяется на два: ток $I_1$, протекающий через левую ветвь с резистором $R$, и ток $I_2$, протекающий через правую ветвь.

Согласно первому правилу Кирхгофа:

$I_A = I_1 + I_2$

Правая ветвь состоит из двух резисторов $R$ и вольтметра с искомым сопротивлением $R_V$, соединенных последовательно. Общее сопротивление правой ветви равно:

$R_{правая} = R + R + R_V = 2R + R_V$

Левая и правая ветви соединены параллельно, поэтому напряжения на них равны:

$U_{левая} = U_{правая}$

Напряжение на левой ветви по закону Ома:

$U_{левая} = I_1 \cdot R$

Напряжение на правой ветви:

$U_{правая} = I_2 \cdot R_{правая} = I_2 \cdot (2R + R_V)$

Приравнивая напряжения, получаем:

$I_1 \cdot R = I_2 \cdot (2R + R_V)$

Вольтметр показывает напряжение на своих клеммах, которое, согласно закону Ома для участка цепи, равно:

$U_V = I_2 \cdot R_V$

Из этого выражения найдем ток $I_2$ в правой ветви:

$I_2 = \frac{U_V}{R_V}$

Из уравнения $I_A = I_1 + I_2$ выразим ток $I_1$:

$I_1 = I_A - I_2 = I_A - \frac{U_V}{R_V}$

Теперь подставим выражения для $I_1$ и $I_2$ в уравнение равенства напряжений:

$(I_A - \frac{U_V}{R_V}) \cdot R = \frac{U_V}{R_V} \cdot (2R + R_V)$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R_V$:

$I_A \cdot R - \frac{U_V \cdot R}{R_V} = \frac{2R \cdot U_V}{R_V} + \frac{U_V \cdot R_V}{R_V}$

$I_A \cdot R - \frac{U_V \cdot R}{R_V} = \frac{2R \cdot U_V}{R_V} + U_V$

Соберем все члены, содержащие $R_V$, с одной стороны:

$I_A \cdot R - U_V = \frac{2R \cdot U_V}{R_V} + \frac{U_V \cdot R}{R_V}$

$I_A \cdot R - U_V = \frac{3R \cdot U_V}{R_V}$

Отсюда выражаем $R_V$:

$R_V = \frac{3R \cdot U_V}{I_A \cdot R - U_V}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$R_V = \frac{3 \cdot 100 \text{ Ом} \cdot 90 \text{ В}}{1,2 \text{ А} \cdot 100 \text{ Ом} - 90 \text{ В}} = \frac{27000}{120 - 90} = \frac{27000}{30} = 900 \text{ Ом}$

Ответ: сопротивление вольтметра составляет 900 Ом.