Номер 776, страница 171 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

776. В электрической цепи, схема которой показана на рисунке 155, все амперметры и все резисторы одинаковы. Первый и второй амперметры показывают силу тока $I_1 = 1,0 \text{ мА}$ и $I_2 = 4,0 \text{ мА}$ соответственно. Определите показание третьего амперметра.

Рис. 155

Дано:

$I_1 = 1,0 \text{ мА}$

$I_2 = 4,0 \text{ мА}$

$I_1 = 1,0 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

$I_2 = 4,0 \cdot 10^{-3} \text{ А}$

Найти:

$I_3$

Решение:

Из условия задачи следует, что все амперметры имеют одинаковое сопротивление, которое мы обозначим $R_A$, а все резисторы — одинаковое сопротивление $R$.

Рассмотрим схему электрической цепи. Обозначим узел на входе (слева) как P, узел на выходе (справа) как S, и центральный узел в верхней ветви как Q.

Амперметр $A_2$ и последовательно соединенные амперметр $A_1$ и первый резистор подключены параллельно между узлами P и Q. Напряжение $U_{PQ}$ между этими узлами для обеих ветвей одинаково. Запишем закон Ома для этих двух параллельных ветвей:

1. Для ветви с амперметром $A_1$ и резистором (ток $I_1$): $U_{PQ} = I_1 \cdot (R_A + R)$

2. Для ветви с амперметром $A_2$ (ток $I_2$): $U_{PQ} = I_2 \cdot R_A$

Приравняем правые части выражений:

$I_1 \cdot (R_A + R) = I_2 \cdot R_A$

Подставим известные значения силы тока $I_1 = 1,0$ мА и $I_2 = 4,0$ мА:

$1,0 \cdot (R_A + R) = 4,0 \cdot R_A$

$R_A + R = 4 R_A$

Отсюда находим соотношение между сопротивлением резистора и сопротивлением амперметра:

$R = 3 R_A$

Согласно первому правилу Кирхгофа, ток, протекающий через второй резистор (между узлами Q и S), равен сумме токов, сходящихся в узле Q:

$I_{QS} = I_1 + I_2 = 1,0 \text{ мА} + 4,0 \text{ мА} = 5,0 \text{ мА}$

Напряжение на участке QS ($U_{QS}$) равно:

$U_{QS} = I_{QS} \cdot R = 5,0 \text{ мА} \cdot R$

Полное напряжение на всей верхней части цепи (между узлами P и S) равно сумме напряжений на последовательно соединенных участках PQ и QS:

$U_{PS} = U_{PQ} + U_{QS}$

Выразим $U_{PS}$ через сопротивление амперметра $R_A$, используя найденные соотношения:

$U_{PS} = (I_2 \cdot R_A) + (I_{QS} \cdot R) = (4,0 \text{ мА} \cdot R_A) + (5,0 \text{ мА} \cdot (3 R_A))$

$U_{PS} = 4,0 \text{ мА} \cdot R_A + 15,0 \text{ мА} \cdot R_A = 19,0 \text{ мА} \cdot R_A$

Третий амперметр $A_3$ подключен параллельно всей верхней части цепи, то есть между узлами P и S. Следовательно, напряжение на нем равно $U_{PS}$. Ток $I_3$, протекающий через него, определяется по закону Ома:

$I_3 = \frac{U_{PS}}{R_A}$

Подставим найденное выражение для $U_{PS}$:

$I_3 = \frac{19,0 \text{ мА} \cdot R_A}{R_A}$

$I_3 = 19,0 \text{ мА}$

Ответ: показание третьего амперметра составляет $19,0$ мА.