Номер 775, страница 171 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

775. Электрическая цепь, схема которой показана на рисунке 154, собрана из одинаковых резисторов и одинаковых вольтметров. Второй и третий вольтметры показывают напряжение $U_2 = 6,0 \text{ В}$ и $U_3 = 4,0 \text{ В}$ соответственно. Определите показание первого вольтметра.

Рис. 154

Дано:

$U_2 = 6,0$ В

$U_3 = 4,0$ В

Сопротивления резисторов одинаковы: $R_1 = R_2 = R$.

Сопротивления вольтметров одинаковы: $R_{V1} = R_{V2} = R_{V3} = R_V$.

Найти:

$U_1$

Решение:

Так как показания вольтметров V2 и V3 различны ($U_2 \neq U_3$), они не могут быть подключены к одним и тем же точкам цепи. Проанализировав схему, можно сделать вывод о нестандартном подключении вольтметра V3. Он включен последовательно с первым резистором (обозначим его сопротивление как $R$). Вольтметр V2 включен параллельно участку, состоящему из последовательно соединенных V3 и первого резистора. Второй резистор (с таким же сопротивлением $R$) соединен последовательно с этим параллельным участком. Вольтметр V1 измеряет общее напряжение на всей цепи.

Поскольку вольтметры не идеальны, они обладают собственным внутренним сопротивлением $R_V$.

Рассмотрим участок цепи, состоящий из вольтметра V3 и первого резистора $R$. Они соединены последовательно. Пусть через них протекает ток $I_3$.

Показание вольтметра V3 – это напряжение на его собственных клеммах:

$U_3 = I_3 \cdot R_V$ (1)

Вольтметр V2 измеряет напряжение на всем этом последовательном участке (V3 и R). Таким образом, его показание $U_2$ равно общему напряжению на этом участке:

$U_2 = I_3 \cdot (R + R_V)$ (2)

Разделим уравнение (2) на уравнение (1):

$\frac{U_2}{U_3} = \frac{I_3 \cdot (R + R_V)}{I_3 \cdot R_V} = \frac{R + R_V}{R_V} = 1 + \frac{R}{R_V}$

Отсюда можно выразить отношение сопротивления резистора к сопротивлению вольтметра:

$\frac{R}{R_V} = \frac{U_2}{U_3} - 1$

Подставим числовые значения:

$\frac{R}{R_V} = \frac{6,0 \text{ В}}{4,0 \text{ В}} - 1 = 1,5 - 1 = 0,5$

Теперь найдем общий ток $I_{общ}$, протекающий через второй резистор. Этот ток является суммой тока $I_3$ (через ветвь с V3 и R) и тока $I_2$ (через вольтметр V2).

Из уравнения (1) найдем ток $I_3$:

$I_3 = \frac{U_3}{R_V} = \frac{4,0 \text{ В}}{R_V}$

Ток через вольтметр V2 найдем по закону Ома, зная напряжение на нем ($U_2$) и его сопротивление ($R_V$):

$I_2 = \frac{U_2}{R_V} = \frac{6,0 \text{ В}}{R_V}$

Общий ток равен:

$I_{общ} = I_2 + I_3 = \frac{6,0}{R_V} + \frac{4,0}{R_V} = \frac{10,0}{R_V}$

Этот ток $I_{общ}$ протекает через второй резистор $R$. Напряжение на втором резисторе $U_R$ равно:

$U_R = I_{общ} \cdot R = \frac{10,0}{R_V} \cdot R = 10,0 \cdot \frac{R}{R_V}$

Мы уже нашли, что $\frac{R}{R_V} = 0,5$, подставим это значение:

$U_R = 10,0 \cdot 0,5 = 5,0$ В

Вольтметр V1 измеряет общее напряжение на всей цепи, которое складывается из напряжения на параллельном участке ($U_2$) и напряжения на втором резисторе ($U_R$):

$U_1 = U_2 + U_R$

$U_1 = 6,0 \text{ В} + 5,0 \text{ В} = 11,0$ В

Ответ: показание первого вольтметра $U_1 = 11,0$ В.