Номер 792, страница 174 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

792. На участке электрической цепи, схема которой показана на рисунке 160, сопротивления резисторов $R_1 = 1,0 \text{ Ом}$, $R_2 = 1,0 \text{ Ом}$, $R_3 = 2,0 \text{ Ом}$, $R_4 = 3,0 \text{ Ом}$. При прохождении тока в первом резисторе выделилось количество теплоты $Q_1 = 242 \text{ Дж}$. Определите количество теплоты, выделившееся за то же время во втором резисторе.

Рис. 160

Дано:

$R_1 = 1.0 \, \text{Ом}$

$R_2 = 1.0 \, \text{Ом}$

$R_3 = 2.0 \, \text{Ом}$

$R_4 = 3.0 \, \text{Ом}$

$Q_1 = 242 \, \text{Дж}$

Все величины даны в системе СИ, перевод не требуется.

Найти:

$Q_2$ - количество теплоты, выделившееся во втором резисторе.

Решение:

Согласно схеме, резистор $R_1$ соединен последовательно с участком цепи, состоящим из параллельно соединенных резисторов $R_2$, $R_3$ и $R_4$.

Количество теплоты $Q$, выделяющееся в проводнике за время $t$, определяется законом Джоуля-Ленца:

$Q = I^2 R t$

где $I$ - сила тока, $R$ - сопротивление.

Для первого резистора, через который протекает полный ток цепи $I_{общ}$, можно записать:

$Q_1 = I_{общ}^2 R_1 t$

Отсюда можно выразить величину $I_{общ}^2 t$, которая будет одинаковой для всей цепи:

$I_{общ}^2 t = \frac{Q_1}{R_1} = \frac{242 \, \text{Дж}}{1.0 \, \text{Ом}} = 242 \, \text{А}^2 \cdot \text{с}$

Резисторы $R_2, R_3, R_4$ соединены параллельно. Найдем их общее сопротивление $R_{234}$:

$\frac{1}{R_{234}} = \frac{1}{R_2} + \frac{1}{R_3} + \frac{1}{R_4}$

Подставим числовые значения:

$\frac{1}{R_{234}} = \frac{1}{1.0} + \frac{1}{2.0} + \frac{1}{3.0} = \frac{6+3+2}{6} = \frac{11}{6} \, \text{Ом}^{-1}$

Следовательно, $R_{234} = \frac{6}{11} \, \text{Ом}$.

Напряжение на этом параллельном участке цепи $U_{234}$ можно найти по закону Ома, зная, что через него протекает полный ток $I_{общ}$:

$U_{234} = I_{общ} \cdot R_{234}$

При параллельном соединении напряжение на всех резисторах одинаково: $U_2 = U_3 = U_4 = U_{234}$.

Количество теплоты, выделившееся во втором резисторе, можно найти по формуле, использующей напряжение:

$Q_2 = \frac{U_2^2}{R_2} t = \frac{U_{234}^2}{R_2} t$

Подставим в эту формулу выражение для $U_{234}$:

$Q_2 = \frac{(I_{общ} \cdot R_{234})^2}{R_2} t = \frac{I_{общ}^2 \cdot R_{234}^2}{R_2} t = \frac{R_{234}^2}{R_2} \cdot (I_{общ}^2 t)$

Теперь подставим известные и вычисленные значения в итоговую формулу:

$Q_2 = \frac{(\frac{6}{11} \, \text{Ом})^2}{1.0 \, \text{Ом}} \cdot (242 \, \text{А}^2 \cdot \text{с}) = \frac{36}{121} \cdot 242 \, \text{Дж}$

Так как $242 = 2 \cdot 121$, получаем:

$Q_2 = \frac{36}{121} \cdot (2 \cdot 121) \, \text{Дж} = 36 \cdot 2 \, \text{Дж} = 72 \, \text{Дж}$

Ответ: $Q_2 = 72 \, \text{Дж}$.