Номер 988, страница 219 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

988. *Соленоид изготовлен из нихромовой проволоки длиной $l = 94,2$ см и диаметром $d = 1,1$ мм. Витки соленоида намотаны на сердечник в один слой вплотную друг к другу. Определите модуль индукции магнитного поля внутри соленоида, если его подключили к источнику постоянного напряжения $U = 6,0$ В. Магнитная проницаемость среды внутри соленоида $\mu = 1$.

Дано:

Длина нихромовой проволоки $L = 94,2$ см

Диаметр проволоки $d = 1,1$ мм

Напряжение источника $U = 6,0$ В

Магнитная проницаемость среды $\mu = 1$

Удельное сопротивление нихрома (справочное значение) $\rho = 1,1 \cdot 10^{-6}$ Ом$\cdot$м

Магнитная постоянная $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м

Перевод в систему СИ:

$L = 0,942$ м

$d = 1,1 \cdot 10^{-3}$ м

Найти:

Модуль индукции магнитного поля внутри соленоида $B$.

Решение:

Модуль индукции магнитного поля внутри длинного соленоида определяется по формуле:

$B = \mu \mu_0 n I$

где $\mu$ - магнитная проницаемость среды, $\mu_0$ - магнитная постоянная, $n$ - число витков на единицу длины соленоида, $I$ - сила тока в обмотке.

Поскольку витки намотаны в один слой вплотную друг к другу, число витков на единицу длины соленоида равно величине, обратной диаметру проволоки:

$n = \frac{1}{d}$

Силу тока $I$ найдем по закону Ома для полной цепи (пренебрегая внутренним сопротивлением источника):

$I = \frac{U}{R}$

где $R$ - сопротивление нихромовой проволоки. Сопротивление проводника вычисляется по формуле:

$R = \rho \frac{L}{S}$

где $\rho$ - удельное сопротивление материала проволоки, $L$ - ее длина, $S$ - площадь поперечного сечения.

Площадь поперечного сечения проволоки:

$S = \frac{\pi d^2}{4}$

Подставим выражение для площади сечения в формулу для сопротивления:

$R = \rho \frac{L}{\frac{\pi d^2}{4}} = \frac{4 \rho L}{\pi d^2}$

Теперь подставим полученное выражение для сопротивления $R$ в формулу для силы тока $I$:

$I = \frac{U}{R} = \frac{U}{\frac{4 \rho L}{\pi d^2}} = \frac{U \pi d^2}{4 \rho L}$

Наконец, подставим выражения для $n$ и $I$ в исходную формулу для индукции магнитного поля $B$:

$B = \mu \mu_0 \left(\frac{1}{d}\right) \left(\frac{U \pi d^2}{4 \rho L}\right)$

Сократив $d$, получим окончательную расчетную формулу:

$B = \frac{\mu \mu_0 \pi U d}{4 \rho L}$

Подставим числовые значения:

$B = \frac{1 \cdot (4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м}) \cdot \pi \cdot 6,0 \text{ В} \cdot (1,1 \cdot 10^{-3} \text{ м})}{4 \cdot (1,1 \cdot 10^{-6} \text{ Ом} \cdot \text{м}) \cdot 0,942 \text{ м}}$

Сократим множители $4$ и $1,1$ в числителе и знаменателе:

$B = \frac{(\pi \cdot 10^{-7}) \cdot \pi \cdot 6,0 \cdot 10^{-3}}{10^{-6} \cdot 0,942} = \frac{6,0 \pi^2 \cdot 10^{-10}}{0,942 \cdot 10^{-6}} = \frac{6,0 \pi^2}{0,942} \cdot 10^{-4} \text{ Тл}$

Заметим, что $94,2 \approx 30\pi$, следовательно $0,942 \approx 0,3\pi$. Подставим это значение для упрощения:

$B \approx \frac{6,0 \pi^2}{0,3 \pi} \cdot 10^{-4} \text{ Тл} = \frac{6,0}{0,3} \pi \cdot 10^{-4} \text{ Тл} = 20 \pi \cdot 10^{-4} \text{ Тл} = 2\pi \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

Вычислим значение:

$B \approx 2 \cdot 3,1416 \cdot 10^{-3} \text{ Тл} \approx 6,28 \cdot 10^{-3} \text{ Тл}$

С учетом значащих цифр исходных данных, округляем результат.

Ответ: $B \approx 6,3 \cdot 10^{-3}$ Тл или 6,3 мТл.