Номер 987, страница 219 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

987. *Заряд тонкого наэлектризованного пластмассового кольца, находящегося в вакууме, $q = 150 \, \text{мкКл}$. Кольцо вращается вокруг оси, проходящей через его центр перпендикулярно плоскости кольца, с периодом $T = 62,8 \, \text{мс}$. Определите модуль индукции магнитного поля в центре кольца, если его диаметр $d = 12 \, \text{см}$.

Дано:

$q = 150 \text{ мкКл}$

$T = 62,8 \text{ мс}$

$d = 12 \text{ см}$

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м/А}$

Перевод в систему СИ:

$q = 150 \cdot 10^{-6} \text{ Кл} = 1,5 \cdot 10^{-4} \text{ Кл}$

$T = 62,8 \cdot 10^{-3} \text{ с}$

$d = 12 \cdot 10^{-2} \text{ м} = 0,12 \text{ м}$

Найти:

$B$ - модуль индукции магнитного поля в центре кольца.

Решение:

Вращающееся заряженное кольцо эквивалентно круговому току. Сила этого тока $I$ определяется как заряд $q$, который проходит через любую точку на окружности кольца за время, равное одному периоду вращения $T$.

Таким образом, сила эквивалентного тока равна:

$I = \frac{q}{T}$

Магнитная индукция $B$ в центре кругового витка с током определяется по закону Био-Савара-Лапласа для кольцевого тока:

$B = \frac{\mu_0 I}{2R}$

где $\mu_0$ - магнитная постоянная, $I$ - сила тока, а $R$ - радиус кольца.

Радиус кольца $R$ можно найти из его диаметра $d$:

$R = \frac{d}{2} = \frac{0,12 \text{ м}}{2} = 0,06 \text{ м}$

Подставим выражение для силы тока $I$ в формулу для магнитной индукции:

$B = \frac{\mu_0}{2R} \cdot \frac{q}{T} = \frac{\mu_0 q}{2RT}$

Теперь подставим числовые значения в полученную формулу. Обратим внимание, что значение периода $T = 62,8 \cdot 10^{-3} \text{ с}$ очень близко к $20\pi \cdot 10^{-3} \text{ с}$, так как $20 \cdot 3,14 = 62,8$. Использование этого приближения упростит вычисления.

$B = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \frac{\text{Тл} \cdot \text{м}}{\text{А}} \cdot 1,5 \cdot 10^{-4} \text{ Кл}}{2 \cdot 0,06 \text{ м} \cdot 62,8 \cdot 10^{-3} \text{ с}} \approx \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \cdot 1,5 \cdot 10^{-4}}{2 \cdot 0,06 \cdot 20\pi \cdot 10^{-3}} \text{ Тл}$

Сократим $\pi$ в числителе и знаменателе:

$B \approx \frac{4 \cdot 1,5 \cdot 10^{-11}}{0,12 \cdot 20 \cdot 10^{-3}} = \frac{6 \cdot 10^{-11}}{2,4 \cdot 10^{-3}} \text{ Тл}$

$B \approx \frac{6}{2,4} \cdot 10^{-11 - (-3)} = 2,5 \cdot 10^{-8} \text{ Тл}$

Ответ: $2,5 \cdot 10^{-8} \text{ Тл}$.