Номер 986, страница 219 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

986. *

По кольцу из медной проволоки, площадь поперечного сечения которой $S = 3,14 \text{ мм}^2$, протекает ток $I = 10 \text{ А}$. Определите напряжение, приложенное к концам проволоки, образующей кольцо, если модуль индукции магнитного поля в центре кольца $B = 3,14 \text{ мкТл}$. Кольцо расположено в вакууме.

Дано:
Площадь поперечного сечения $S = 3,14 \text{ мм}^2 = 3,14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2$
Сила тока $I = 10 \text{ А}$
Индукция магнитного поля в центре $B = 3,14 \text{ мкТл} = 3,14 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}$
Удельное сопротивление меди $\rho = 1,7 \cdot 10^{-8} \text{ Ом} \cdot \text{м}$ (табличное значение)
Магнитная постоянная $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \frac{\text{Тл} \cdot \text{м}}{\text{А}}$

Найти:
Напряжение $U$

Решение:
Напряжение на концах проволоки, образующей кольцо, определяется по закону Ома:
$U = I \cdot R$, где $R$ – электрическое сопротивление кольца.
Сопротивление проволоки можно найти по формуле:
$R = \rho \frac{L}{S}$, где $\rho$ – удельное сопротивление меди, $L$ – длина проволоки, $S$ – площадь ее поперечного сечения.
Длина проволоки $L$ равна длине окружности кольца радиусом $r$:
$L = 2\pi r$
Индукция магнитного поля $B$, создаваемого круговым током $I$ в центре кольца радиусом $r$ в вакууме, равна:
$B = \frac{\mu_0 I}{2r}$
Из этой формулы выразим радиус кольца $r$:
$r = \frac{\mu_0 I}{2B}$
Теперь подставим выражение для радиуса в формулу для длины проволоки:
$L = 2\pi \left(\frac{\mu_0 I}{2B}\right) = \frac{\pi \mu_0 I}{B}$
Подставим полученную длину $L$ в формулу для сопротивления $R$:
$R = \rho \frac{L}{S} = \rho \frac{\pi \mu_0 I}{B S}$
Наконец, найдем напряжение $U$, подставив выражение для $R$ в закон Ома:
$U = I \cdot R = I \cdot \left(\rho \frac{\pi \mu_0 I}{B S}\right) = \frac{\rho \pi \mu_0 I^2}{B S}$
Подставим числовые значения. Учитывая, что $\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$, а в условии задачи $S$ и $B$ численно равны $3,14$, удобно использовать приближение $\pi \approx 3,14$.
$U = \frac{\rho \pi (4\pi \cdot 10^{-7}) I^2}{B S} = \frac{4\pi^2 \rho \cdot 10^{-7} I^2}{B S}$
$U = \frac{4 \cdot (3,14)^2 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \frac{\text{Ом} \cdot \text{м}^2}{\text{м}} \cdot 10^{-7} \frac{\text{Тл} \cdot \text{м}}{\text{А}} \cdot (10 \text{ А})^2}{(3,14 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}) \cdot (3,14 \cdot 10^{-6} \text{ м}^2)}$
Сократим $(3,14)^2$ в числителе и знаменателе:
$U = \frac{4 \cdot 1,7 \cdot 10^{-8} \cdot 10^{-7} \cdot 100}{10^{-6} \cdot 10^{-6}} = \frac{6,8 \cdot 10^{-15} \cdot 100}{10^{-12}} = \frac{6,8 \cdot 10^{-13}}{10^{-12}} = 6,8 \cdot 10^{-1} \text{ В} = 0,68 \text{ В}$

Ответ: напряжение, приложенное к концам проволоки, составляет $0,68 \text{ В}$.