Номер 979, страница 217 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

979. *По двум длинным проводникам, расположенным параллельно друг другу на расстоянии $r = 40$ см, протекают токи $I_1 = 10$ А и $I_2 = 30$ А. Определите расстояние от второго проводника до точек, в которых индукция результирующего магнитного поля равна нулю, если направления токов в проводниках:

а) совпадают;

б) противоположны.

Дано:

$r = 40$ см

$I_1 = 10$ А

$I_2 = 30$ А

Перевод в систему СИ:

$r = 0,4$ м

Найти:

$x$ — расстояние от второго проводника до точек, в которых индукция результирующего магнитного поля равна нулю.

Решение:

Индукция магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямым проводником с током $I$ на расстоянии $d$ от него, определяется формулой:

$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi d}$

где $\mu_0$ — магнитная постоянная.

Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая индукция магнитного поля в некоторой точке равна векторной сумме индукций полей, создаваемых каждым проводником в этой точке: $\vec{B} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2$.

Для того чтобы результирующая индукция была равна нулю, векторы $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ должны быть равны по модулю и противоположны по направлению: $B_1 = B_2$ и $\vec{B}_1 = -\vec{B}_2$.

а) направления токов в проводниках совпадают

Пусть токи в обоих проводниках направлены в одну сторону. Согласно правилу правой руки, в области между проводниками векторы индукции $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ направлены в противоположные стороны. Следовательно, точка с нулевой индукцией может находиться только между проводниками.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $x$ от второго проводника. Тогда расстояние от нее до первого проводника будет $(r-x)$.

Условие равенства модулей индукций:

$B_1 = B_2$

$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi (r-x)} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$

Сократив общие множители, получим:

$\frac{I_1}{r-x} = \frac{I_2}{x}$

Решим это уравнение относительно $x$:

$I_1 x = I_2 (r-x)$

$I_1 x = I_2 r - I_2 x$

$I_1 x + I_2 x = I_2 r$

$(I_1 + I_2)x = I_2 r$

$x = \frac{I_2 r}{I_1 + I_2}$

Подставим числовые значения:

$x = \frac{30 \text{ А} \cdot 0,4 \text{ м}}{10 \text{ А} + 30 \text{ А}} = \frac{12}{40} \text{ м} = 0,3 \text{ м} = 30 \text{ см}$

Ответ: расстояние от второго проводника равно 30 см.

б) направления токов в проводниках противоположны

Если токи направлены в противоположные стороны, то по правилу правой руки в области между проводниками векторы индукции $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ будут направлены в одну сторону. Следовательно, точка с нулевой индукцией не может находиться между проводниками.

Такая точка будет находиться на прямой, соединяющей проводники, за пределами отрезка между ними. Так как ток $I_2$ больше тока $I_1$ ($I_2 > I_1$), точка с нулевой индукцией будет располагаться ближе к проводнику с меньшим током, то есть со стороны первого проводника.

Пусть искомая точка находится на расстоянии $x$ от второго проводника. Так как она находится со стороны первого проводника, то расстояние до первого проводника будет $(x-r)$.

Условие равенства модулей индукций:

$B_1 = B_2$

$\frac{\mu_0 I_1}{2 \pi (x-r)} = \frac{\mu_0 I_2}{2 \pi x}$

$\frac{I_1}{x-r} = \frac{I_2}{x}$

Решим уравнение относительно $x$:

$I_1 x = I_2 (x-r)$

$I_1 x = I_2 x - I_2 r$

$I_2 r = I_2 x - I_1 x$

$I_2 r = (I_2 - I_1) x$

$x = \frac{I_2 r}{I_2 - I_1}$

Подставим числовые значения:

$x = \frac{30 \text{ А} \cdot 0,4 \text{ м}}{30 \text{ А} - 10 \text{ А}} = \frac{12}{20} \text{ м} = 0,6 \text{ м} = 60 \text{ см}$

Ответ: расстояние от второго проводника равно 60 см.