Номер 973, страница 216 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

973. Три длинных прямолинейных проводника, сила тока в которых одинакова, расположены в воздухе параллельно друг другу так, что центры их поперечных сечений находятся в вершинах равнобедренного прямоугольного треугольника (рис. 220). Модуль индукции магнитного поля каждого проводника в середине гипотенузы (точка А) $B=2\sqrt{5}$ мТл. Определите модуль индукции результирующего магнитного поля в этой точке.

Рис. 220

Дано:

Три длинных прямолинейных проводника с одинаковой силой тока $I$.

Расположение проводников: вершины равнобедренного прямоугольного треугольника.

Модуль индукции магнитного поля от каждого проводника в точке А (середина гипотенузы): $B = 2\sqrt{5}$ мТл.

$B = 2\sqrt{5} \times 10^{-3}$ Тл

Найти:

Модуль индукции результирующего магнитного поля в точке A: $B_{res}$.

Решение:

Результирующее магнитное поле в точке А создается тремя проводниками и, согласно принципу суперпозиции, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым проводником в отдельности:

$\vec{B}_{res} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2 + \vec{B}_3$

где $\vec{B}_1$, $\vec{B}_2$, и $\vec{B}_3$ – векторы магнитной индукции от каждого из трех проводников.

Точка А является серединой гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника. Важным свойством такого треугольника является то, что медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Это означает, что точка А равноудалена от всех трех вершин треугольника. Обозначим это расстояние как $r$.

Модуль индукции магнитного поля, создаваемого длинным прямым проводником с током $I$ на расстоянии $r$, определяется по формуле:

$B = \frac{\mu_0 I}{2 \pi r}$

Поскольку силы тока $I$ во всех проводниках одинаковы по модулю, и расстояния $r$ от каждого проводника до точки А также одинаковы, то и модули векторов магнитной индукции равны:

$B_1 = B_2 = B_3 = B = 2\sqrt{5}$ мТл.

Теперь определим направления векторов $\vec{B}_1, \vec{B}_2, \vec{B}_3$ в точке А, используя правило правой руки и обозначения на рисунке. Введем систему координат так, чтобы гипотенуза лежала на оси Ох, а точка А совпала с началом координат (0,0). Тогда проводник 1 (ток направлен из плоскости чертежа, ⊙) будет находиться в точке $(0, r)$, проводник 2 (ток в плоскость чертежа, ⊗) – в точке $(-r, 0)$, а проводник 3 (ток в плоскость чертежа, ⊗) – в точке $(r, 0)$.

1. Вектор $\vec{B}_1$ (от верхнего проводника): ток направлен на нас. Линия, соединяющая проводник и точку А, лежит на оси Оу. Вектор $\vec{B}_1$ перпендикулярен этой линии. По правилу правой руки (большой палец по току), вектор индукции в точке (0,0) будет направлен вправо, вдоль оси Ох.

2. Вектор $\vec{B}_2$ (от левого нижнего проводника): ток направлен от нас. Линия, соединяющая проводник и точку А, лежит на оси Ох. Вектор $\vec{B}_2$ перпендикулярен ей. По правилу правой руки (большой палец по току), вектор индукции в точке (0,0) будет направлен вниз, вдоль отрицательного направления оси Оу.

3. Вектор $\vec{B}_3$ (от правого нижнего проводника): ток направлен от нас. Линия, соединяющая проводник и точку А, лежит на оси Ох. Вектор $\vec{B}_3$ перпендикулярен ей. По правилу правой руки (большой палец по току), вектор индукции в точке (0,0) будет направлен вверх, вдоль положительного направления оси Оу.

Таким образом, векторы $\vec{B}_2$ и $\vec{B}_3$ равны по модулю ($B_2 = B_3 = B$) и направлены в противоположные стороны (вниз и вверх соответственно). Их векторная сумма равна нулю:

$\vec{B}_2 + \vec{B}_3 = \vec{0}$

Следовательно, результирующий вектор магнитной индукции в точке А будет равен вектору $\vec{B}_1$:

$\vec{B}_{res} = \vec{B}_1 + (\vec{B}_2 + \vec{B}_3) = \vec{B}_1 + \vec{0} = \vec{B}_1$

Модуль результирующего вектора равен модулю вектора $\vec{B}_1$:

$B_{res} = B_1 = B = 2\sqrt{5}$ мТл.

Ответ: $2\sqrt{5}$ мТл.