Номер 971, страница 215 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

971. Два длинных тонких параллельных стержня, по которым протекают одинаковые токи $I_1 = I_2$, расположены в вакууме так, что центры их поперечных сечений находятся в вершинах равностороннего треугольника (рис. 218). Определите модуль индукции результирующего магнитного поля в свободной вершине треугольника (точка $O$), если в этой точке модуль индукции магнитного поля, созданного каждым проводником с током, $B_1 = B_2 = 2\sqrt{3}\text{ мТл}.

Рис. 218

Дано:

$I_1 = I_2$

Проводники с токами $I_1$, $I_2$ и точка O образуют вершины равностороннего треугольника.

$B_1 = B_2 = 2\sqrt{3}$ мТл

Перевод в систему СИ:

$B_1 = B_2 = 2\sqrt{3} \cdot 10^{-3}$ Тл

Найти:

$B_{рез}$

Решение:

Согласно принципу суперпозиции полей, результирующая индукция магнитного поля в точке O равна векторной сумме индукций магнитных полей, созданных каждым проводником в отдельности:

$\vec{B}_{рез} = \vec{B}_1 + \vec{B}_2$

Направление векторов индукции $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ в точке O определяется по правилу правой руки (правилу буравчика). Поскольку токи в проводниках направлены из плоскости чертежа, линии магнитной индукции представляют собой окружности, направленные против часовой стрелки. Вектор магнитной индукции в любой точке направлен по касательной к линии индукции. Таким образом, вектор $\vec{B}_1$ перпендикулярен отрезку, соединяющему проводник с током $I_1$ и точку O, а вектор $\vec{B}_2$ перпендикулярен отрезку, соединяющему проводник с током $I_2$ и точку O.

Так как проводники и точка O образуют равносторонний треугольник, угол между сторонами, выходящими из точки O, равен $60^\circ$. Поскольку векторы $\vec{B}_1$ и $\vec{B}_2$ перпендикулярны этим сторонам, угол $\alpha$ между векторами индукции также составляет $60^\circ$.

Модуль результирующего вектора магнитной индукции $B_{рез}$ можно найти, используя теорему косинусов для векторов:

$B_{рез} = \sqrt{B_1^2 + B_2^2 + 2 B_1 B_2 \cos \alpha}$

По условию задачи, модули индукции равны $B_1 = B_2 = B = 2\sqrt{3}$ мТл, а угол между ними $\alpha = 60^\circ$.

Подставим известные значения в формулу:

$B_{рез} = \sqrt{B^2 + B^2 + 2 B \cdot B \cos 60^\circ} = \sqrt{2B^2 + 2B^2 \cdot \frac{1}{2}} = \sqrt{2B^2 + B^2} = \sqrt{3B^2} = B\sqrt{3}$

Теперь произведем вычисление:

$B_{рез} = (2\sqrt{3} \text{ мТл}) \cdot \sqrt{3} = 2 \cdot (\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}) \text{ мТл} = 2 \cdot 3 \text{ мТл} = 6$ мТл.

Ответ: модуль индукции результирующего магнитного поля в свободной вершине треугольника равен 6 мТл.