Номер 981, страница 217 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

981. *Ось $Oz$ декартовой прямоугольной системы координат совпадает с осью проводящего стержня и направлена так же, как и электрический ток, протекающий в стержне. Ось $Ox$ сонаправлена с линиями индукции внешнего однородного магнитного поля, модуль индукции которого $B = 0,4$ мкТл. Сила тока в стержне $I = 0,3$ А. Определите модуль индукции результирующего магнитного поля в точке с координатами $x = 20$ см, $y = 0$ см, $z = 0$ см, если система находится в вакууме.

Дано:

$B_{внеш} = 0,4 \text{ мкТл} = 0,4 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}$
$I = 0,3 \text{ А}$
$x = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$y = 0 \text{ см} = 0 \text{ м}$
$z = 0 \text{ см} = 0 \text{ м}$
$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м}/\text{А}$ (магнитная постоянная для вакуума)

Найти:

$B_{рез}$ - ?

Решение:

Результирующее магнитное поле в точке с заданными координатами является векторной суммой двух полей: внешнего однородного магнитного поля $\vec{B}_{внеш}$ и магнитного поля $\vec{B}_{I}$, созданного током в стержне. Согласно принципу суперпозиции полей:

$\vec{B}_{рез} = \vec{B}_{внеш} + \vec{B}_{I}$

1. Определим вектор индукции внешнего магнитного поля $\vec{B}_{внеш}$.
По условию, ось $Ox$ сонаправлена с линиями индукции внешнего однородного магнитного поля. Следовательно, вектор $\vec{B}_{внеш}$ направлен вдоль оси $Ox$, и его модуль равен $B_{внеш} = 0,4 \text{ мкТл}$. Векторно это можно записать как $\vec{B}_{внеш} = (B_{внеш}, 0, 0)$.

2. Определим вектор индукции магнитного поля $\vec{B}_{I}$, создаваемого током в стержне.
По условию, ток $I$ течет вдоль оси $Oz$. Магнитное поле прямого бесконечного проводника с током определяется по закону Био-Савара-Лапласа. Модуль индукции этого поля в точке на расстоянии $r$ от проводника равен:

$B_I = \frac{\mu_0 I}{2\pi r}$

Расстояние $r$ от оси $Oz$ (где находится стержень) до точки с координатами $(x, y, z)$ равно $r = \sqrt{x^2 + y^2}$. Для точки $(0,2 \text{ м}; 0; 0)$ расстояние будет:

$r = \sqrt{(0,2)^2 + 0^2} = 0,2 \text{ м}$

Рассчитаем модуль индукции $B_I$:

$B_I = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Тл} \cdot \text{м}/\text{А} \cdot 0,3 \text{ А}}{2\pi \cdot 0,2 \text{ м}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 0,3}{0,2} \text{ Тл} = 3 \cdot 10^{-7} \text{ Тл} = 0,3 \text{ мкТл}$

Направление вектора $\vec{B}_{I}$ определяется по правилу правой руки (правилу буравчика). Если направить большой палец правой руки по направлению тока (вдоль оси $Oz$), то согнутые пальцы укажут направление линий магнитной индукции. Линии индукции представляют собой окружности в плоскости $xy$ с центром в начале координат. В точке $(x=0,2, y=0, z=0)$, которая лежит на положительной полуоси $Ox$, вектор магнитной индукции $\vec{B}_{I}$ будет направлен по касательной к окружности, то есть вдоль положительного направления оси $Oy$. Таким образом, векторно $\vec{B}_{I} = (0, B_I, 0)$.

3. Найдем модуль результирующего вектора магнитной индукции $\vec{B}_{рез}$.
Векторы $\vec{B}_{внеш}$ и $\vec{B}_{I}$ взаимно перпендикулярны, так как один направлен вдоль оси $Ox$, а другой — вдоль оси $Oy$. Модуль их векторной суммы находится по теореме Пифагора:

$B_{рез} = \sqrt{B_{внеш}^2 + B_I^2}$

Подставим числовые значения:

$B_{рез} = \sqrt{(0,4 \text{ мкТл})^2 + (0,3 \text{ мкТл})^2} = \sqrt{0,16 + 0,09} \text{ мкТл} = \sqrt{0,25} \text{ мкТл} = 0,5 \text{ мкТл}$

Ответ: $0,5$ мкТл.