Номер 982, страница 218 - гдз по физике 10 класс сборник задач Дорофейчик, Белая

982. *Два длинных прямолинейных проводника расположены в вакууме на расстоянии $r = 50 \text{ см}$ друг от друга. В первом проводнике течет ток $I_1 = 6,4 \text{ А}$, во втором — $I_2 = 3,6 \text{ А}$. Определите модуль индукции магнитного поля в точке, расположенной на расстоянии $r_1 = 40 \text{ см}$ от первого проводника и $r_2 = 30 \text{ см}$ от второго.

Дано:

$r = 50$ см

$I_1 = 6,4$ А

$I_2 = 3,6$ А

$r_1 = 40$ см

$r_2 = 30$ см

$\mu_0 = 4\pi \cdot 10^{-7}$ Гн/м (магнитная постоянная)

Перевод в систему СИ:

$r = 0,5$ м

$r_1 = 0,4$ м

$r_2 = 0,3$ м

Найти:

$B$ — модуль индукции магнитного поля в указанной точке.

Решение:

Два проводника и точка, в которой нужно найти индукцию, образуют треугольник со сторонами $r, r_1, r_2$. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора:

$r_1^2 + r_2^2 = (0,4 \text{ м})^2 + (0,3 \text{ м})^2 = 0,16 \text{ м}^2 + 0,09 \text{ м}^2 = 0,25 \text{ м}^2$

$r^2 = (0,5 \text{ м})^2 = 0,25 \text{ м}^2$

Поскольку $r_1^2 + r_2^2 = r^2$, треугольник является прямоугольным, причем прямой угол находится в точке, где мы ищем индукцию поля. Это означает, что отрезки, соединяющие эту точку с проводниками, перпендикулярны друг другу.

Согласно принципу суперпозиции, результирующая индукция магнитного поля $\vec{B}$ в данной точке равна векторной сумме индукций полей $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$, создаваемых каждым проводником в отдельности:

$\vec{B} = \vec{B_1} + \vec{B_2}$

Модуль индукции магнитного поля, создаваемого бесконечно длинным прямолинейным проводником с током $I$ на расстоянии $d$ от него, определяется по формуле:

$B = \frac{\mu_0 I}{2\pi d}$

Рассчитаем модули индукции для каждого проводника в заданной точке:

$B_1 = \frac{\mu_0 I_1}{2\pi r_1} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 6,4 \text{ А}}{2\pi \cdot 0,4 \text{ м}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 6,4}{0,4} \text{ Тл} = 3,2 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}$

$B_2 = \frac{\mu_0 I_2}{2\pi r_2} = \frac{4\pi \cdot 10^{-7} \text{ Гн/м} \cdot 3,6 \text{ А}}{2\pi \cdot 0,3 \text{ м}} = \frac{2 \cdot 10^{-7} \cdot 3,6}{0,3} \text{ Тл} = 2,4 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}$

Вектор магнитной индукции $\vec{B_1}$ перпендикулярен радиус-вектору $\vec{r_1}$, а вектор $\vec{B_2}$ перпендикулярен радиус-вектору $\vec{r_2}$. Поскольку радиус-векторы $\vec{r_1}$ и $\vec{r_2}$ взаимно перпендикулярны, то и векторы индукции $\vec{B_1}$ и $\vec{B_2}$ также взаимно перпендикулярны, независимо от направления токов в проводниках.

Модуль результирующего вектора индукции найдем по теореме Пифагора:

$B = \sqrt{B_1^2 + B_2^2} = \sqrt{(3,2 \cdot 10^{-6} \text{ Тл})^2 + (2,4 \cdot 10^{-6} \text{ Тл})^2}$

$B = \sqrt{10,24 \cdot 10^{-12} \text{ Тл}^2 + 5,76 \cdot 10^{-12} \text{ Тл}^2} = \sqrt{16 \cdot 10^{-12} \text{ Тл}^2} = 4 \cdot 10^{-6} \text{ Тл}$

Результат можно также выразить в микротеслах: $4 \cdot 10^{-6} \text{ Тл} = 4$ мкТл.

Ответ: Модуль индукции магнитного поля в указанной точке равен $4 \cdot 10^{-6}$ Тл или 4 мкТл.