Номер 3, страница 123 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

3. Два одинаковых маленьких проводящих шарика, заряды которых отличаются в два раза, находятся на расстоянии $r = 50$ см. Определите расстояние, на которое необходимо развести шарики после соприкосновения, чтобы модуль сил их взаимодействия остался прежним.

Дано:

Два одинаковых маленьких проводящих шарика
Соотношение зарядов: $|q_2| = 2|q_1|$
Начальное расстояние: $r_1 = 50$ см
Модуль силы взаимодействия до и после соприкосновения одинаков: $F_1 = F_2$

$r_1 = 0.5$ м

Найти:

$r_2$ — расстояние между шариками после соприкосновения.

Решение:

Сила электростатического взаимодействия (сила Кулона) между двумя точечными зарядами определяется формулой:$F = k \frac{|q_a q_b|}{r^2}$где $k$ — коэффициент пропорциональности, $q_a$ и $q_b$ — величины зарядов, а $r$ — расстояние между ними.

Пусть начальные заряды шариков будут $q_1$ и $q_2$. По условию, $|q_2| = 2|q_1|$. Обозначим $|q_1| = q$, тогда $|q_2| = 2q$.Сила взаимодействия между шариками до соприкосновения на расстоянии $r_1$ равна:$F_1 = k \frac{|q_1 q_2|}{r_1^2} = k \frac{q \cdot 2q}{r_1^2} = k \frac{2q^2}{r_1^2}$

Поскольку шарики одинаковые и проводящие, при их соприкосновении их общий заряд ($Q_{total} = q_1 + q_2$) перераспределяется между ними поровну. Таким образом, заряд каждого шарика после соприкосновения становится равным:$q' = \frac{q_1 + q_2}{2}$

После соприкосновения шарики разводят на расстояние $r_2$. Сила взаимодействия между ними теперь равна:$F_2 = k \frac{|q' \cdot q'|}{r_2^2} = k \frac{(q')^2}{r_2^2} = k \frac{(\frac{q_1 + q_2}{2})^2}{r_2^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r_2^2}$

По условию задачи, модуль силы взаимодействия не изменился, следовательно $F_1 = F_2$:$k \frac{2q^2}{r_1^2} = k \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r_2^2}$Сократив коэффициент $k$, получаем:$\frac{2q^2}{r_1^2} = \frac{(q_1 + q_2)^2}{4r_2^2}$

В условии задачи не указано, являются ли заряды одноимёнными или разноимёнными. Поэтому необходимо рассмотреть оба варианта.

1) Заряды шариков одноимённые

В этом случае знаки зарядов $q_1$ и $q_2$ совпадают. Положим $q_1 = q$, тогда $q_2 = 2q$.Их сумма: $q_1 + q_2 = q + 2q = 3q$.Подставим это значение в наше уравнение:$\frac{2q^2}{r_1^2} = \frac{(3q)^2}{4r_2^2}$$\frac{2q^2}{r_1^2} = \frac{9q^2}{4r_2^2}$Сокращаем $q^2$:$\frac{2}{r_1^2} = \frac{9}{4r_2^2}$Выразим отсюда $r_2^2$:$8r_2^2 = 9r_1^2 \implies r_2^2 = \frac{9}{8}r_1^2$$r_2 = \sqrt{\frac{9}{8}}r_1 = \frac{3}{2\sqrt{2}}r_1 = \frac{3\sqrt{2}}{4}r_1$Подставим числовое значение $r_1 = 50$ см:$r_2 = \frac{3\sqrt{2}}{4} \cdot 50 \text{ см} \approx 53.03 \text{ см}$

Ответ: если заряды шариков были одноимёнными, их необходимо развести на расстояние примерно 53 см.

2) Заряды шариков разноимённые

В этом случае знаки зарядов $q_1$ и $q_2$ противоположны. Положим $q_1 = q$, тогда $q_2 = -2q$.Их сумма: $q_1 + q_2 = q - 2q = -q$.Подставим это значение в наше уравнение:$\frac{2q^2}{r_1^2} = \frac{(-q)^2}{4r_2^2}$$\frac{2q^2}{r_1^2} = \frac{q^2}{4r_2^2}$Сокращаем $q^2$:$\frac{2}{r_1^2} = \frac{1}{4r_2^2}$Выразим отсюда $r_2^2$:$8r_2^2 = r_1^2 \implies r_2^2 = \frac{1}{8}r_1^2$$r_2 = \sqrt{\frac{1}{8}}r_1 = \frac{1}{2\sqrt{2}}r_1 = \frac{\sqrt{2}}{4}r_1$Подставим числовое значение $r_1 = 50$ см:$r_2 = \frac{\sqrt{2}}{4} \cdot 50 \text{ см} \approx 17.68 \text{ см}$

Ответ: если заряды шариков были разноимёнными, их необходимо развести на расстояние примерно 18 см.