Номер 6, страница 123 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

6. Небольшой шарик, заряд которого $q_1 = 20 \text{ нКл}$ и масса $m = 60 \text{ мг}$, подвешен в воздухе на шёлковой нити. После того как на вертикали, проходящей через центр шарика, на расстоянии $r = 15 \text{ см}$ ниже его поместили другой маленький шарик, заряженный отрицательно, модуль силы упругости нити увеличился в два раза. Определите заряд второго шарика.

Дано:

$q_1 = 20 \text{ нКл} = 20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл}$
$m = 60 \text{ мг} = 60 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$
$r = 15 \text{ см} = 0.15 \text{ м}$
$T_2 = 2 T_1$
$k \approx 9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}$ (электростатическая постоянная)
$g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$ (ускорение свободного падения)

Найти:

$q_2$

Решение:

1. Рассмотрим начальное состояние, когда на шёлковой нити подвешен только первый шарик. На него действуют две силы: сила тяжести $F_g = mg$, направленная вертикально вниз, и сила натяжения нити $T_1$, направленная вертикально вверх. Поскольку шарик находится в состоянии покоя (равновесия), эти силы уравновешивают друг друга. Согласно первому закону Ньютона:

$T_1 = mg$

2. Теперь рассмотрим второе состояние. После того как под первым шариком на расстоянии $r$ разместили второй, отрицательно заряженный шарик, на первый шарик начала действовать дополнительная сила. Поскольку заряды шариков разноимённые ($q_1 > 0$, а $q_2 < 0$), между ними возникает сила электростатического притяжения (сила Кулона) $F_e$. Так как второй шарик находится ниже первого, эта сила для первого шарика направлена вертикально вниз.

Теперь на первый шарик действуют три силы: сила тяжести $F_g$ (вниз), сила Кулона $F_e$ (вниз) и новая сила натяжения нити $T_2$ (вверх). Условие равновесия для первого шарика примет вид:

$T_2 = F_g + F_e = mg + F_e$

3. По условию задачи, модуль силы натяжения (упругости) нити увеличился в два раза: $T_2 = 2T_1$. Подставим в это соотношение выражения для $T_1$ и $T_2$ из предыдущих пунктов:

$mg + F_e = 2(mg)$

Из этого уравнения можно найти величину силы Кулона:

$F_e = 2mg - mg = mg$

4. Сила Кулона между двумя точечными зарядами определяется по закону Кулона:

$F_e = k \frac{|q_1 q_2|}{r^2}$

Приравняем два полученных выражения для силы $F_e$:

$k \frac{|q_1 q_2|}{r^2} = mg$

5. Выразим из этой формулы модуль заряда второго шарика $|q_2|$:

$|q_2| = \frac{mg r^2}{k |q_1|}$

6. Подставим числовые значения в систему СИ и произведем вычисления:

$|q_2| = \frac{(60 \cdot 10^{-6} \text{ кг}) \cdot (10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}) \cdot (0.15 \text{ м})^2}{(9 \cdot 10^9 \frac{\text{Н} \cdot \text{м}^2}{\text{Кл}^2}) \cdot (20 \cdot 10^{-9} \text{ Кл})} = \frac{60 \cdot 10^{-5} \cdot 0.0225}{180} = \frac{1.35 \cdot 10^{-5}}{180} = 0.0075 \cdot 10^{-5} \text{ Кл}$

$|q_2| = 7.5 \cdot 10^{-8} \text{ Кл} = 75 \cdot 10^{-9} \text{ Кл} = 75 \text{ нКл}$

В условии сказано, что заряд второго шарика отрицателен, следовательно, $q_2 = -75 \text{ нКл}$.

Ответ: заряд второго шарика равен $-75 \text{ нКл}$.