Номер 11, страница 109 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

11. В теплоизолированный сосуд с водой, масса и температура которой $m_\text{в} = 1,6$ кг и $t_{0\text{в}} = 8,0 \text{ }^\circ\text{C}$ соответственно, опустили кусок льда массой $m_\text{л} = 0,80$ кг. После того как установилось тепловое равновесие, оказалось, что масса льда увеличилась на $\Delta m = 20$ г. Определите начальную температуру льда.

Удельная теплоёмкость воды $c_\text{в} = 4,2 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$; для льда: удельная теплоёмкость $c_\text{л} = 2,1 \cdot 10^3 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$, удельная теплота плавления $\lambda = 3,4 \cdot 10^5 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$, температура плавления $t_\text{пл} = 0,0 \text{ }^\circ\text{C}$. Теплоёмкостью сосуда пренебречь.

Дано:

$m_в = 1,6$ кг
$t_{0в} = 8,0$ °C
$m_л = 0,80$ кг
$\Delta m = 20$ г
$c_в = 4,2 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot К}$
$c_л = 2,1 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot К}$
$\lambda = 3,4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг}$
$t_{пл} = 0,0$ °C

Перевод в систему СИ:
$\Delta m = 20 \text{ г} = 0,020 \text{ кг}$

Найти:

$t_{0л}$

Решение:

Поскольку сосуд теплоизолированный, теплообмен происходит только между водой и льдом. Суммарное количество теплоты, отданное и полученное в системе, равно нулю. Это описывается уравнением теплового баланса:

$Q_{отданное} + Q_{полученное} = 0$ или $Q_{отданное} = -Q_{полученное}$

По условию задачи, после установления теплового равновесия масса льда увеличилась. Это означает, что часть воды замерзла. Процесс замерзания воды (кристаллизации) происходит при температуре плавления $t_{пл} = 0,0$ °C. Следовательно, конечная температура всей системы (воды и льда) равна $0,0$ °C.

Теплоту отдавала вода. Этот процесс состоит из двух этапов:

1. Охлаждение всей массы воды $m_в$ от начальной температуры $t_{0в}$ до конечной температуры $t_{пл} = 0$ °C. Количество теплоты, отданное водой при охлаждении: $Q_1 = c_в \cdot m_в \cdot (t_{0в} - t_{пл})$

2. Кристаллизация (замерзание) части воды массой $\Delta m$. Количество теплоты, выделившееся при этом: $Q_2 = \lambda \cdot \Delta m$

Общее количество отданной теплоты: $Q_{отданное} = Q_1 + Q_2 = c_в \cdot m_в \cdot (t_{0в} - t_{пл}) + \lambda \cdot \Delta m$

Теплоту получал лед. Он нагревался от своей начальной температуры $t_{0л}$ (которая должна быть ниже 0 °C) до конечной температуры $t_{пл} = 0$ °C. Количество теплоты, полученное льдом:

$Q_{полученное} = c_л \cdot m_л \cdot (t_{пл} - t_{0л})$

Составим уравнение теплового баланса, приравнивая отданное и полученное количество теплоты ($Q_{отданное} = Q_{полученное}$):

$c_в \cdot m_в \cdot (t_{0в} - t_{пл}) + \lambda \cdot \Delta m = c_л \cdot m_л \cdot (t_{пл} - t_{0л})$

Подставим $t_{пл} = 0$ °C в уравнение:

$c_в \cdot m_в \cdot t_{0в} + \lambda \cdot \Delta m = c_л \cdot m_л \cdot (0 - t_{0л})$

$c_в m_в t_{0в} + \lambda \Delta m = -c_л m_л t_{0л}$

Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру льда $t_{0л}$:

$t_{0л} = - \frac{c_в m_в t_{0в} + \lambda \Delta m}{c_л m_л}$

Подставим числовые значения в формулу. Заметим, что разность температур в градусах Цельсия равна разности температур в Кельвинах, поэтому можно использовать $c_в$ и $c_л$ в $\frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}}$.

$t_{0л} = - \frac{4,2 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 1,6 \text{ кг} \cdot 8,0 \text{°C} + 3,4 \cdot 10^5 \frac{Дж}{кг} \cdot 0,020 \text{ кг}}{2,1 \cdot 10^3 \frac{Дж}{кг \cdot \text{°C}} \cdot 0,80 \text{ кг}}$

$t_{0л} = - \frac{53760 \text{ Дж} + 6800 \text{ Дж}}{1680 \frac{Дж}{\text{°C}}} = - \frac{60560 \text{ Дж}}{1680 \frac{Дж}{\text{°C}}} \approx -36,0476... \text{ °C}$

Округляя результат до двух значащих цифр, как в исходных данных:

$t_{0л} \approx -36 \text{ °C}$

Ответ: начальная температура льда была равна $-36$ °C.