Номер 10, страница 109 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

10. Железный осколок падает из состояния покоя с высоты $h = 800 \text{ м}$. Модуль скорости движения осколка в момент падения на поверхность Земли $v = 35 \frac{\text{м}}{\text{с}}$. Определите приращение температуры осколка за время падения. Удельная теплоёмкость железа $c = 460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$. Потерями энергии в окружающую среду пренебречь.

Дано:

начальная высота $h = 800$ м
начальная скорость $v_0 = 0$ м/с (из состояния покоя)
конечная скорость $v = 35$ м/с
удельная теплоёмкость железа $c = 460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}$
ускорение свободного падения $g \approx 10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2}$

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

приращение температуры $\Delta T$

Решение:

При падении железного осколка его полная механическая энергия уменьшается из-за работы силы сопротивления воздуха. Согласно условию, потерями энергии в окружающую среду можно пренебречь, это означает, что вся работа силы сопротивления воздуха переходит во внутреннюю энергию самого осколка, вызывая его нагревание.

Начальная механическая энергия осколка на высоте $h$ (поскольку он начинает падать из состояния покоя) является чисто потенциальной: $E_1 = E_p = mgh$ где $m$ — масса осколка.

Конечная механическая энергия осколка в момент падения на поверхность Земли (на высоте $h=0$) является кинетической: $E_2 = E_k = \frac{1}{2}mv^2$

Убыль механической энергии $\Delta E$ переходит в теплоту $Q$: $Q = \Delta E = E_1 - E_2 = mgh - \frac{1}{2}mv^2$

Эта теплота $Q$ идет на нагревание осколка. Количество теплоты, необходимое для нагревания тела, вычисляется по формуле: $Q = cm\Delta T$ где $c$ — удельная теплоёмкость вещества, а $\Delta T$ — приращение его температуры.

Приравнивая два выражения для $Q$, получаем: $cm\Delta T = mgh - \frac{1}{2}mv^2$

Как видно из уравнения, масса осколка $m$ сокращается. Мы можем выразить искомую величину $\Delta T$: $\Delta T = \frac{gh - \frac{1}{2}v^2}{c}$

Подставим числовые значения в полученную формулу: $\Delta T = \frac{10 \frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot 800 \text{ м} - \frac{1}{2} \cdot (35 \frac{\text{м}}{\text{с}})^2}{460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}}$

$\Delta T = \frac{8000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} - \frac{1225}{2} \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}}{460 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{К}}} = \frac{8000 - 612.5}{460} \text{ К} = \frac{7387.5}{460} \text{ К} \approx 16.06 \text{ К}$

Округляя результат до десятых, получаем: $\Delta T \approx 16.1 \text{ К}$

Ответ: $16.1 \text{ К}$.