Номер 6, страница 108 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

6. График циклического процесса в идеальном газе представляет собой отрезки прямых, соединяющие точки с координатами $A (1,8 \cdot 10^5 \text{ Па}; 1,5 \text{ л})$, $B (1,8 \cdot 10^5 \text{ Па}; 4,5 \text{ л})$ и $C (0,60 \cdot 10^5 \text{ Па}; 1,5 \text{ л})$. Определите работу, совершённую силой давления газа за цикл.

Дано:

Координаты точек циклического процесса (P - давление, V - объем):

Точка A: $P_A = 1,8 \cdot 10^5 \text{ Па}$, $V_A = 1,5 \text{ л}$

Точка B: $P_B = 1,8 \cdot 10^5 \text{ Па}$, $V_B = 4,5 \text{ л}$

Точка C: $P_C = 0,60 \cdot 10^5 \text{ Па}$, $V_C = 1,5 \text{ л}$

Переведем единицы объема в систему СИ:

$V_A = 1,5 \text{ л} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$V_B = 4,5 \text{ л} = 4,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

$V_C = 1,5 \text{ л} = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Найти:

Работу, совершённую силой давления газа за цикл, $A_{цикла}$.

Решение:

Работа, совершаемая газом в термодинамическом процессе, в координатах $P-V$ (давление-объем) численно равна площади фигуры под графиком процесса. Для циклического процесса полная работа за цикл равна площади фигуры, которую описывает график на $P-V$ диаграмме.

Проанализируем участки цикла A-B-C-A:

• Участок A-B: $P_A = P_B = 1,8 \cdot 10^5 \text{ Па}$. Давление постоянно, это изобарный процесс. Объем увеличивается от $V_A$ до $V_B$, значит, это изобарное расширение.
• Участок C-A: $V_C = V_A = 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$. Объем постоянен, это изохорный процесс.

Из анализа координат видно, что график процесса в координатах $P-V$ представляет собой прямоугольный треугольник ABC, у которого катеты параллельны осям координат. Вершина прямого угла находится в точке A, так как отрезок AB параллелен оси объемов (изобара), а отрезок AC параллелен оси давлений (изохора).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется по формуле:

$S = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины катетов.

Длина катета AC соответствует изменению давления $\Delta P$:

$\Delta P = P_A - P_C = 1,8 \cdot 10^5 \text{ Па} - 0,60 \cdot 10^5 \text{ Па} = 1,2 \cdot 10^5 \text{ Па}$

Длина катета AB соответствует изменению объема $\Delta V$:

$\Delta V = V_B - V_A = 4,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 - 1,5 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 3,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3$

Направление обхода цикла (A → B → C → A) на диаграмме $P-V$ происходит по часовой стрелке. Это означает, что работа, совершённая газом за цикл, положительна.

Работа газа за цикл равна площади этого треугольника:

$A_{цикла} = S = \frac{1}{2} \cdot \Delta P \cdot \Delta V$

Подставим числовые значения:

$A_{цикла} = \frac{1}{2} \cdot (1,2 \cdot 10^5 \text{ Па}) \cdot (3,0 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3) = \frac{1}{2} \cdot 3,6 \cdot 10^{2} \text{ Дж} = 1,8 \cdot 10^2 \text{ Дж} = 180 \text{ Дж}$

Ответ: работа, совершённая силой давления газа за цикл, равна $180 \text{ Дж}$.