Номер 8, страница 108 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

8. Гелий, взятый в количестве $v = 2,00$ моль, изобарно расширяется. При этом сила давления газа совершает работу $A = 7,20$ кДж. Концентрация атомов газа в конечном состоянии в $\alpha = 3,00$ раза меньше, t, чем в начальном, а его масса не меняется. Определите начальную температуру гелия.

Дано:
Количество вещества гелия $v = 2,00$ моль
Работа газа $A = 7,20$ кДж
Отношение начальной концентрации к конечной $\alpha = \frac{n_1}{n_2} = 3,00$
Процесс изобарный ($p = \text{const}$)
Универсальная газовая постоянная $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Перевод в систему СИ:
$A = 7,20 \times 10^3 \text{ Дж} = 7200 \text{ Дж}$

Найти:
Начальную температуру гелия $T_1$.

Решение:
Работа, совершаемая газом при изобарном расширении, определяется формулой: $A = p \Delta V = p(V_2 - V_1)$, где $p$ — постоянное давление, $V_1$ и $V_2$ — начальный и конечный объемы газа.

Запишем уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона) для начального и конечного состояний:
$p V_1 = v R T_1$
$p V_2 = v R T_2$

Подставим выражения для $pV_1$ и $pV_2$ в формулу для работы:
$A = v R T_2 - v R T_1 = v R (T_2 - T_1)$

Концентрация атомов газа $n$ связана с объемом $V$ и числом атомов $N$ соотношением $n = \frac{N}{V}$. Поскольку масса газа (и, следовательно, число атомов $N$) не меняется, концентрация обратно пропорциональна объему.
Из условия задачи $\frac{n_1}{n_2} = \alpha$.
Следовательно, $\frac{N/V_1}{N/V_2} = \frac{V_2}{V_1} = \alpha$.

Для изобарного процесса (закон Гей-Люссака) отношение объемов равно отношению абсолютных температур:
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{T_2}{T_1}$

Таким образом, получаем, что $\frac{T_2}{T_1} = \alpha$, откуда $T_2 = \alpha T_1$.

Подставим это выражение для $T_2$ в формулу для работы:
$A = v R (\alpha T_1 - T_1) = v R T_1 (\alpha - 1)$

Выразим из этого уравнения искомую начальную температуру $T_1$:
$T_1 = \frac{A}{v R (\alpha - 1)}$

Произведем вычисления:
$T_1 = \frac{7200 \text{ Дж}}{2,00 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot (3,00 - 1)} = \frac{7200}{2,00 \cdot 8,31 \cdot 2,00} \text{ К} = \frac{1800}{8,31} \text{ К} \approx 216,6 \text{ К}$

С учетом значащих цифр (в исходных данных 3 значащие цифры), округляем результат.
$T_1 \approx 217 \text{ К}$

Ответ: начальная температура гелия равна $217 \text{ К}$.