Номер 1, страница 32 - гдз по физике 10 класс учебник Громыко, Зенькович

От теории к практике

На рисунке 19 представлен график процесса перехода идеального газа данной массы из состояния 1 в состояние 2. Как изменился объём газа в результате этого процесса?

Рис. 19

Дано

На графике (рис. 19) представлен процесс перехода идеального газа из состояния 1 в состояние 2. Масса газа постоянна ($m = \text{const}$), следовательно, количество вещества также постоянно ($\nu = \text{const}$).
Определим параметры состояний 1 и 2 в условных единицах по клеткам графика. Пусть одна клетка по оси температур соответствует значению $T_0$, а одна клетка по оси давлений — значению $p_0$.

Состояние 1:
Температура $T_1 = 1 \cdot T_0 = T_0$
Давление $p_1 = 2 \cdot p_0 = 2p_0$

Состояние 2:
Температура $T_2 = 4 \cdot T_0 = 4T_0$
Давление $p_2 = 3 \cdot p_0 = 3p_0$

Найти:

Как изменился объём газа, то есть найти отношение конечного объёма $V_2$ к начальному объёму $V_1$ ($V_2/V_1$).

Решение

Состояние идеального газа описывается уравнением Менделеева-Клапейрона:

$pV = \nu RT$

где $p$ — давление, $V$ — объём, $\nu$ — количество вещества газа, $R$ — универсальная газовая постоянная, $T$ — абсолютная температура.

Запишем это уравнение для начального (1) и конечного (2) состояний газа:

Для состояния 1: $p_1V_1 = \nu RT_1$
Для состояния 2: $p_2V_2 = \nu RT_2$

Поскольку количество вещества $\nu$ и газовая постоянная $R$ не изменяются в ходе процесса, мы можем выразить объёмы $V_1$ и $V_2$:

$V_1 = \frac{\nu RT_1}{p_1}$
$V_2 = \frac{\nu RT_2}{p_2}$

Чтобы определить, как изменился объём, найдём отношение $V_2$ к $V_1$:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{\frac{\nu R T_2}{p_2}}{\frac{\nu R T_1}{p_1}} = \frac{\nu R T_2 p_1}{\nu R T_1 p_2} = \frac{T_2 p_1}{T_1 p_2}$

Подставим в полученное выражение значения параметров из данных, определённых по графику:

$\frac{V_2}{V_1} = \frac{(4T_0) \cdot (2p_0)}{(T_0) \cdot (3p_0)} = \frac{8 T_0 p_0}{3 T_0 p_0} = \frac{8}{3}$

Поскольку отношение $\frac{V_2}{V_1} = \frac{8}{3} \approx 2.67$, что больше единицы, объём газа в результате процесса увеличился.

Альтернативное рассуждение (геометрическое):
Из уравнения состояния идеального газа $pV = \nu RT$ можно выразить давление: $p = (\frac{\nu R}{V}) T$.
Это уравнение вида $y = kx$, где $y=p$, $x=T$, а коэффициент пропорциональности (тангенс угла наклона) $k = \frac{\nu R}{V}$.
Таким образом, для изохорного процесса (при $V = \text{const}$) график в координатах p-T представляет собой прямую, проходящую через начало координат. Тангенс угла наклона этой прямой к оси температур $k = \frac{p}{T}$ обратно пропорционален объёму: $V \sim \frac{1}{k}$. Чем больше наклон, тем меньше объём.
Сравним тангенсы углов наклона лучей, проведённых из начала координат в точки 1 и 2:
Для точки 1: $k_1 = \frac{p_1}{T_1} = \frac{2p_0}{T_0} = 2 \frac{p_0}{T_0}$
Для точки 2: $k_2 = \frac{p_2}{T_2} = \frac{3p_0}{4T_0} = \frac{3}{4} \frac{p_0}{T_0}$
Так как $k_1 > k_2$ ($2 > \frac{3}{4}$), то соответствующий объём $V_1$ меньше объёма $V_2$. Это подтверждает, что объём увеличился. Отношение объёмов равно обратному отношению тангенсов: $\frac{V_2}{V_1} = \frac{k_1}{k_2} = \frac{2}{3/4} = \frac{8}{3}$.

Ответ: объём газа увеличился в $\frac{8}{3}$ раза (приблизительно в 2,67 раза).