Номер 1000, страница 278 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1000. *Измерение радиационного фона производят с помощью прибора, в котором используется счетчик Гейгера — Мюллера. До аварии на атомной электростанции из-за наличия естественного радиационного фона счетчик регистрировал частицы с частотой $v_0 = 5 \text{ с}^{-1}$. Через промежуток времени $\Delta t_1 = 30 \text{ лет}$ после аварии, вызвавшей радиационное загрязнение местности, счетчик срабатывал с частотой $v_1 = 15 \text{ с}^{-1}$. С какой частотой срабатывал счетчик через промежуток времени $\Delta t_2 = 15 \text{ лет}$ после аварии, если период полураспада вещества, загрязнившего окружающую среду, $T_{1/2} = 30 \text{ лет}$?

Дано:

Частота срабатывания счетчика из-за естественного фона $v_0 = 5 \text{ с}^{-1}$

Промежуток времени после аварии $\Delta t_1 = 30 \text{ лет}$

Частота срабатывания счетчика через $\Delta t_1$: $v_1 = 15 \text{ с}^{-1}$

Промежуток времени после аварии $\Delta t_2 = 15 \text{ лет}$

Период полураспада вещества $T_{1/2} = 30 \text{ лет}$

Перевод в систему СИ (1 год ≈ 3.156 × 10⁷ с):

$\Delta t_1 = 30 \text{ лет} \approx 30 \cdot 3.156 \cdot 10^7 \text{ с} \approx 9.468 \cdot 10^8 \text{ с}$

$\Delta t_2 = 15 \text{ лет} \approx 15 \cdot 3.156 \cdot 10^7 \text{ с} \approx 4.734 \cdot 10^8 \text{ с}$

$T_{1/2} = 30 \text{ лет} \approx 9.468 \cdot 10^8 \text{ с}$

Найти:

Частоту срабатывания счетчика $v_2$ через промежуток времени $\Delta t_2$.

Решение:

Общая частота срабатывания счетчика $v(t)$, регистрируемая прибором в любой момент времени $t$ после аварии, является суммой частоты естественного радиационного фона $v_0$ и частоты, вызванной радиоактивным загрязнением $v_{загр}(t)$.

$v(t) = v_0 + v_{загр}(t)$

Частота срабатываний от радиоактивного загрязнения пропорциональна активности вещества, которая уменьшается со временем согласно закону радиоактивного распада:

$v_{загр}(t) = v_{загр,0} \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $v_{загр,0}$ — это частота срабатываний от загрязнения в начальный момент времени (сразу после аварии, $t=0$), а $T_{1/2}$ — период полураспада загрязняющего вещества.

1. Найдем частоту срабатываний, обусловленную только загрязнением, через время $\Delta t_1 = 30$ лет. В этот момент общая частота составляла $v_1 = 15 \text{ с}^{-1}$.

$v_{загр}(\Delta t_1) = v_1 - v_0 = 15 \text{ с}^{-1} - 5 \text{ с}^{-1} = 10 \text{ с}^{-1}$

2. Используя полученное значение, определим начальную частоту от загрязнения $v_{загр,0}$.

$v_{загр}(\Delta t_1) = v_{загр,0} \cdot 2^{-\Delta t_1/T_{1/2}}$

Подставим известные величины. Так как время входит в формулу в виде безразмерного отношения $\Delta t_1/T_{1/2}$, нет необходимости переводить его в секунды.

$10 \text{ с}^{-1} = v_{загр,0} \cdot 2^{-30/30} = v_{загр,0} \cdot 2^{-1} = \frac{v_{загр,0}}{2}$

Отсюда находим начальную частоту:

$v_{загр,0} = 2 \cdot 10 \text{ с}^{-1} = 20 \text{ с}^{-1}$

3. Теперь рассчитаем частоту срабатываний от загрязнения через искомый промежуток времени $\Delta t_2 = 15$ лет.

$v_{загр}(\Delta t_2) = v_{загр,0} \cdot 2^{-\Delta t_2/T_{1/2}} = 20 \cdot 2^{-15/30} = 20 \cdot 2^{-1/2} = \frac{20}{\sqrt{2}} \text{ с}^{-1}$

Упростим выражение, умножив числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$v_{загр}(\Delta t_2) = \frac{20 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{2} = 10\sqrt{2} \text{ с}^{-1}$

4. Наконец, найдем полную частоту срабатывания счетчика $v_2$ через 15 лет после аварии, сложив частоту от загрязнения и естественный фон.

$v_2 = v_0 + v_{загр}(\Delta t_2) = 5 + 10\sqrt{2} \text{ с}^{-1}$

Для получения численного ответа, примем $\sqrt{2} \approx 1.414$:

$v_2 \approx 5 + 10 \cdot 1.414 = 5 + 14.14 = 19.14 \text{ с}^{-1}$

Ответ:

Частота срабатывания счетчика через 15 лет после аварии составит $v_2 = (5 + 10\sqrt{2}) \text{ с}^{-1} \approx 19.1 \text{ с}^{-1}$.