Номер 998, страница 278 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

998. Плутоний $^{\text{238}}_{\text{94}}\text{Pu}$ имеет период полураспада $T_{1/2} = 3$ месяца. Определите массу воды, которую можно испарить, передавая ей энергию, выделяющуюся при распаде плутония, начальная масса которого $m_0 = 0,78$ г, за время $t = 1$ год. При распаде одного ядра плутония выделяется энергия $E_1 = 5,6$ МэВ. Начальная температура воды $t_1 = 20^\circ\text{C}$, температура ее кипения $t_2 = 100^\circ\text{C}$. Удельная теплоемкость воды $c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot ^\circ \text{С}}$, удельная теплота парообразования воды $L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$.

Дано:

Изотоп: $_{94}^{238}Pu$

Период полураспада, $T_{1/2} = 3$ месяца

Начальная масса плутония, $m_0 = 0,78$ г

Время, $t = 1$ год

Энергия распада одного ядра, $E_1 = 5,6$ МэВ

Начальная температура воды, $t_1 = 20$ °C

Температура кипения воды, $t_2 = 100$ °C

Удельная теплоемкость воды, $c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

Удельная теплота парообразования воды, $L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}}$

Молярная масса плутония-238, $M \approx 238$ г/моль

Число Авогадро, $N_A \approx 6,02 \times 10^{23}$ моль$^{-1}$

$m_0 = 0,78 \text{ г} = 0,78 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$t = 1 \text{ год} = 12 \text{ месяцев}$

$T_{1/2} = 3 \text{ месяца}$

$E_1 = 5,6 \text{ МэВ} = 5,6 \times 10^6 \times 1,6 \times 10^{-19} \text{ Дж} = 8,96 \times 10^{-13} \text{ Дж}$

$c = 4,2 \frac{\text{кДж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}}$

$L = 2,26 \frac{\text{МДж}}{\text{кг}} = 2,26 \times 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

$M = 238 \text{ г/моль} = 0,238 \text{ кг/моль}$

Найти:

$m_в$ — массу воды, которую можно испарить.

Решение:

1. Определим количество энергии $E$, которое выделится при распаде плутония за время $t$. Эта энергия пропорциональна числу распавшихся ядер $\Delta N$.

Сначала найдем начальное число ядер $N_0$ в образце плутония массой $m_0$:

$N_0 = \frac{m_0}{M} N_A$

Число нераспавшихся ядер $N$ через время $t$ определяется законом радиоактивного распада:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Число распавшихся ядер $\Delta N$ равно разности между начальным и конечным числом ядер:

$\Delta N = N_0 - N = N_0(1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

Общая энергия, выделившаяся при распаде, равна:

$E = \Delta N \cdot E_1 = \frac{m_0}{M} N_A (1 - 2^{-t/T_{1/2}}) E_1$

2. Определим количество теплоты $Q$, необходимое для нагревания и полного испарения массы воды $m_в$.

Теплота $Q$ состоит из двух частей: теплоты для нагрева воды от $t_1$ до температуры кипения $t_2$ ($Q_{нагр}$) и теплоты для парообразования ($Q_{пар}$).

$Q = Q_{нагр} + Q_{пар} = m_в c (t_2 - t_1) + m_в L = m_в(c(t_2 - t_1) + L)$

3. При условии, что вся выделившаяся при распаде энергия идет на нагрев и испарение воды, мы можем приравнять $E$ и $Q$:

$E = Q$

$\frac{m_0}{M} N_A (1 - 2^{-t/T_{1/2}}) E_1 = m_в(c(t_2 - t_1) + L)$

Отсюда выразим искомую массу воды $m_в$:

$m_в = \frac{\frac{m_0}{M} N_A (1 - 2^{-t/T_{1/2}}) E_1}{c(t_2 - t_1) + L}$

4. Произведем вычисления.

Вычислим множитель, отвечающий за долю распавшихся ядер:

$1 - 2^{-t/T_{1/2}} = 1 - 2^{-12/3} = 1 - 2^{-4} = 1 - \frac{1}{16} = \frac{15}{16}$

Вычислим полную выделившуюся энергию $E$:

$E = \frac{0,78 \times 10^{-3} \text{ кг}}{0,238 \text{ кг/моль}} \times 6,02 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \times \frac{15}{16} \times 8,96 \times 10^{-13} \text{ Дж} \approx 1,66 \times 10^9 \text{ Дж}$

Вычислим количество теплоты, необходимое для нагрева и испарения 1 кг воды:

$c(t_2 - t_1) + L = 4200 \frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \times (100 - 20)\text{°C} + 2,26 \times 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 336000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} + 2260000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 2596000 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}} = 2,596 \times 10^6 \frac{\text{Дж}}{\text{кг}}$

Теперь найдем массу воды:

$m_в = \frac{1,66 \times 10^9 \text{ Дж}}{2,596 \times 10^6 \text{ Дж/кг}} \approx 639,4 \text{ кг}$

Ответ: $m_в \approx 639$ кг.