Номер 996, страница 278 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

996. Свинец $_{82}^{214}\text{Pb}$ испытывает $\beta^{-}$-распад. За время $\Delta t = 108 \text{ мин}$ суммарный заряд электронов, испущенных ядрами свинца, начальная масса которого $m_0 = 4,28 \text{ мг}$, равен $q = -1,8 \text{ Кл}$. Определите период полураспада свинца $_{82}^{214}\text{Pb}$.

Дано

Изотоп: $_{82}^{214}\text{Pb}$

Тип распада: $\beta^-$-распад

Время: $\Delta t = 108 \text{ мин}$

Начальная масса: $m_0 = 4,28 \text{ мг}$

Суммарный заряд испущенных электронов: $q = -1,8 \text{ Кл}$

Молярная масса свинца-214: $M \approx 214 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A = 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Элементарный заряд: $e = 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 4,28 \text{ мг} = 4,28 \cdot 10^{-3} \text{ г} = 4,28 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

$M = 214 \text{ г/моль} = 0,214 \text{ кг/моль}$

Найти:

$T_{1/2}$ — период полураспада.

Решение

1. При $\beta^-$-распаде ядро $_{82}^{214}\text{Pb}$ испускает один электрон ($_{-1}^{0}\text{e}$) и превращается в ядро висмута $_{83}^{214}\text{Bi}$. Число распавшихся ядер ($\Delta N$) равно числу испущенных электронов.

2. Найдем число распавшихся ядер, зная суммарный заряд $q$ и заряд одного электрона ($-e$):

$\Delta N = \frac{q}{-e} = \frac{-1,8 \text{ Кл}}{-1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} = 1,125 \cdot 10^{19}$

3. Определим начальное число ядер свинца ($N_0$) в образце массой $m_0$. Для этого используем молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$:

$N_0 = \frac{m_0}{M} N_A$

$N_0 = \frac{4,28 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{0,214 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 2 \cdot 10^{-5} \text{ моль} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1,2044 \cdot 10^{19}$

4. Закон радиоактивного распада связывает число нераспавшихся ядер $N$, начальное число ядер $N_0$, время $\Delta t$ и период полураспада $T_{1/2}$:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}$

Число нераспавшихся ядер $N$ равно разности начального числа ядер и числа распавшихся ядер:

$N = N_0 - \Delta N$

Подставим это в закон распада:

$N_0 - \Delta N = N_0 \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}$

Разделим обе части уравнения на $N_0$:

$1 - \frac{\Delta N}{N_0} = 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}$

5. Подставим найденные значения $\Delta N$ и $N_0$ и решим уравнение относительно $T_{1/2}$. Расчеты удобнее вести в минутах, так как время дано в минутах.

$1 - \frac{1,125 \cdot 10^{19}}{1,2044 \cdot 10^{19}} = 2^{-\frac{108 \text{ мин}}{T_{1/2}}}$

$1 - 0,934 = 2^{-\frac{108}{T_{1/2}}}$

$0,066 = 2^{-\frac{108}{T_{1/2}}}$

Для решения этого уравнения прологарифмируем обе части по основанию 2:

$\log_2(0,066) = -\frac{108}{T_{1/2}}$

Выразим $T_{1/2}$:

$T_{1/2} = -\frac{108}{\log_2(0,066)} = -\frac{108}{\frac{\ln(0,066)}{\ln(2)}}$

$T_{1/2} \approx -\frac{108}{\frac{-2,718}{0,693}} \approx -\frac{108}{-3,922} \approx 27,5 \text{ мин}$

Ответ: период полураспада свинца $_{82}^{214}\text{Pb}$ составляет примерно 27,5 мин.