Номер 997, страница 278 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

997. Ядра калия $_{19}^{44}\text{K}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 22$ мин, испытывают $\beta^-$-распад. Начальный объем калия $V_0 = 0,005 \text{ см}^3$. При радиоактивном распаде суммарный заряд испущенных электронов $q = -9,03 \text{ Кл}$. Определите, в течение какого времени происходил распад калия.

Дано:

Изотоп: $_{19}^{44}K$

Период полураспада: $T_{1/2} = 22 \text{ мин}$

Начальный объем: $V_0 = 0,005 \text{ см}^3$

Суммарный заряд испущенных электронов: $q = -9,03 \text{ Кл}$

Плотность калия: $\rho \approx 862 \text{ кг/м}^3$

Молярная масса калия-44: $M \approx 44 \text{ г/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Элементарный заряд: $e \approx 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$

$T_{1/2} = 22 \cdot 60 = 1320 \text{ с}$

$V_0 = 0,005 \text{ см}^3 = 0,005 \cdot (10^{-2} \text{ м})^3 = 5 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3$

$M = 44 \text{ г/моль} = 0,044 \text{ кг/моль}$

Найти:

Время распада $t$

Решение:

При $\beta^-$-распаде ядро калия $_{19}^{44}K$ превращается в ядро кальция $_{20}^{44}Ca$, испуская один электрон ($e^-$) и одно электронное антинейтрино. Таким образом, число распавшихся ядер $\Delta N$ равно числу испущенных электронов.

Найдем число распавшихся ядер, зная суммарный заряд $q$ и заряд одного электрона $q_e = -e$:

$\Delta N = \frac{|q|}{e} = \frac{9,03 \text{ Кл}}{1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}} \approx 5,637 \cdot 10^{19}$

Теперь определим начальное число ядер калия $N_0$. Сначала найдем начальную массу калия $m_0$ через его объем $V_0$ и плотность $\rho$:

$m_0 = \rho \cdot V_0 = 862 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot 5 \cdot 10^{-9} \text{ м}^3 = 4,31 \cdot 10^{-6} \text{ кг}$

Зная массу, молярную массу $M$ и число Авогадро $N_A$, найдем начальное число ядер $N_0$:

$N_0 = \frac{m_0}{M} \cdot N_A = \frac{4,31 \cdot 10^{-6} \text{ кг}}{0,044 \text{ кг/моль}} \cdot 6,022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 5,90 \cdot 10^{19}$

Закон радиоактивного распада связывает начальное число ядер $N_0$, число оставшихся ядер $N(t)$ через время $t$ и период полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Число оставшихся ядер равно разности начального числа ядер и числа распавшихся ядер:

$N(t) = N_0 - \Delta N = 5,90 \cdot 10^{19} - 5,637 \cdot 10^{19} = 0,263 \cdot 10^{19}$

Подставим значения в закон распада:

$0,263 \cdot 10^{19} = 5,90 \cdot 10^{19} \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

$\frac{0,263}{5,90} = 2^{-t/T_{1/2}}$

$0,0446 \approx 2^{-t/T_{1/2}}$

Прологарифмируем обе части уравнения по основанию 2:

$\log_2(0,0446) = -\frac{t}{T_{1/2}}$

Отсюда выразим время $t$. Для удобства вычислений перейдем к натуральному логарифму:

$t = -T_{1/2} \cdot \log_2(0,0446) = -T_{1/2} \cdot \frac{\ln(0,0446)}{\ln(2)}$

Подставим числовые значения, используя $T_{1/2}$ в минутах для получения ответа в минутах:

$t \approx -22 \text{ мин} \cdot \frac{-3,11}{0,693} \approx 22 \text{ мин} \cdot 4,488 \approx 98,7 \text{ мин}$

Ответ: время, в течение которого происходил распад калия, составляет примерно 98,7 мин.