Номер 993, страница 277 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

993. При $\alpha$-распаде радона $^{220}_{86}\text{Rn}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 56 \text{ с}$, образуются ядра полония $^{216}_{84}\text{Po}$. Определите объем полония, образовавшегося через промежуток времени $\Delta t = 168 \text{ с}$ после начала распада, если исходная масса радона $m_0 = 6,60 \text{ мг}$.

Дано:

Изотоп: $^{220}_{86}Rn$

Период полураспада: $T_{1/2} = 56$ c

Время распада: $\Delta t = 168$ c

Исходная масса радона: $m_0 = 6,60$ мг

Продукт распада: $^{216}_{84}Po$

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 6,60 \times 10^{-6}$ кг

Найти:

$V_{Po}$

Решение:

Уравнение альфа-распада радона-220 имеет вид:

$$ ^{220}_{86}\text{Rn} \rightarrow ^{216}_{84}\text{Po} + ^4_2\text{He} $$

Согласно закону радиоактивного распада, масса нераспавшегося радона $m_{Rn}$ через время $\Delta t$ определяется формулой:

$$ m_{Rn} = m_0 \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}} $$

Определим, сколько периодов полураспада прошло за данное время:

$$ n = \frac{\Delta t}{T_{1/2}} = \frac{168 \text{ с}}{56 \text{ с}} = 3 $$

Таким образом, масса радона уменьшилась в $2^3=8$ раз. Масса оставшегося радона равна:

$$ m_{Rn} = \frac{m_0}{8} = \frac{6,60 \text{ мг}}{8} = 0,825 \text{ мг} $$

Масса распавшегося радона $\Delta m_{Rn}$ составляет:

$$ \Delta m_{Rn} = m_0 - m_{Rn} = m_0 - \frac{m_0}{8} = \frac{7}{8}m_0 $$

$$ \Delta m_{Rn} = \frac{7}{8} \cdot 6,60 \text{ мг} = 5,775 \text{ мг} $$

Из уравнения реакции следует, что из каждого распавшегося ядра радона образуется одно ядро полония. Это означает, что количество вещества (число молей) распавшегося радона равно количеству вещества образовавшегося полония:

$$ \nu_{Rn} = \nu_{Po} \Rightarrow \frac{\Delta m_{Rn}}{M_{Rn}} = \frac{m_{Po}}{M_{Po}} $$

где $m_{Po}$ — масса образовавшегося полония, а $M_{Rn}$ и $M_{Po}$ — молярные массы радона-220 и полония-216. Их значения приблизительно равны массовым числам: $M_{Rn} \approx 220$ г/моль, $M_{Po} \approx 216$ г/моль.

Выразим и найдем массу полония:

$$ m_{Po} = \Delta m_{Rn} \cdot \frac{M_{Po}}{M_{Rn}} = 5,775 \text{ мг} \cdot \frac{216}{220} \approx 5,67 \text{ мг} $$

Для нахождения объема полония воспользуемся формулой $V = \frac{m}{\rho}$. Плотность полония является справочной величиной и для его наиболее устойчивой альфа-модификации составляет $\rho_{Po} \approx 9196$ кг/м³.

Переведем массу полония в СИ: $m_{Po} \approx 5,67 \times 10^{-6}$ кг.

Вычислим объем:

$$ V_{Po} = \frac{m_{Po}}{\rho_{Po}} = \frac{5,67 \times 10^{-6} \text{ кг}}{9196 \text{ кг/м}^3} \approx 6,166 \times 10^{-10} \text{ м}^3 $$

Результат удобнее представить в кубических миллиметрах ($1 \text{ м}^3 = 10^9 \text{ мм}^3$):

$$ V_{Po} \approx 6,166 \times 10^{-10} \cdot 10^9 \text{ мм}^3 \approx 0,617 \text{ мм}^3 $$

Ответ: объем образовавшегося полония составляет примерно $0,617 \text{ мм}^3$.