Номер 994, страница 277 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

994. Тритий ${_1^3}\text{H}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 12,3 \text{ года}$, при $\beta^{-}$-распаде превращается в гелий ${_2^3}\text{He}$. Гелий собирают в ампулу объемом $V = 0,25 \text{ дм}^3$ при температуре $t = 27 \text{ °C}$. Какое давление будет создавать гелий ${_2^3}\text{He}$ через $\Delta t = 24,6 \text{ года}$, если масса трития $m = 0,03 \text{ г}$?

Дано:

Изотоп: тритий $^3_1$H

Продукт распада: гелий $^3_2$He

Период полураспада трития: $T_{1/2} = 12,3$ года

Объем ампулы: $V = 0,25 \text{ дм}^3$

Температура: $t = 27 \text{ }^{\circ}\text{C}$

Время: $\Delta t = 24,6$ года

Начальная масса трития: $m_0 = 0,03 \text{ г}$

Молярная масса трития: $M(H) \approx 3 \text{ г/моль}$

Универсальная газовая постоянная: $R \approx 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}}$

Перевод в систему СИ:

$V = 0,25 \text{ дм}^3 = 0,25 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3 = 2,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3$

$T = t + 273,15 = 27 + 273,15 = 300,15 \text{ К} \approx 300 \text{ К}$

$m_0 = 0,03 \text{ г} = 3 \cdot 10^{-5} \text{ кг}$

$M(H) = 3 \text{ г/моль} = 3 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Найти:

Давление гелия $P$.

Решение:

1. Запишем уравнение реакции $\beta^-$-распада трития:

$_{1}^{3}\text{H} \rightarrow _{2}^{3}\text{He} + _{-1}^{0}\text{e} + \bar{\nu}_e$

Из уравнения видно, что при распаде одного атома трития образуется один атом гелия. Это означает, что количество вещества (число молей) образовавшегося гелия $\nu_{He}$ равно количеству вещества распавшегося трития $\Delta\nu_H$.

2. Найдем массу трития, оставшегося после распада, используя закон радиоактивного распада:

$m = m_0 \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}$

Заметим, что прошедшее время $\Delta t = 24,6$ года, а период полураспада $T_{1/2} = 12,3$ года. Таким образом, прошло ровно два периода полураспада: $\frac{\Delta t}{T_{1/2}} = \frac{24,6}{12,3} = 2$.

Масса оставшегося трития:

$m = m_0 \cdot 2^{-2} = m_0 \cdot \frac{1}{4} = 0,03 \text{ г} \cdot \frac{1}{4} = 0,0075 \text{ г}$

3. Найдем массу распавшегося трития $\Delta m_H$, которая превратилась в гелий:

$\Delta m_H = m_0 - m = 0,03 \text{ г} - 0,0075 \text{ г} = 0,0225 \text{ г}$

4. Вычислим количество вещества образовавшегося гелия $\nu_{He}$. Так как молярные массы трития и гелия-3 практически одинаковы ($M(H) \approx M(He) \approx 3$ г/моль), то:

$\nu_{He} = \Delta\nu_H = \frac{\Delta m_H}{M(H)} = \frac{0,0225 \text{ г}}{3 \text{ г/моль}} = 0,0075 \text{ моль}$

5. Теперь, зная количество вещества гелия, его температуру и объем, в котором он находится, мы можем найти давление, используя уравнение состояния идеального газа (уравнение Менделеева-Клапейрона):

$PV = \nu_{He} RT$

Выразим давление $P$:

$P = \frac{\nu_{He} RT}{V}$

Подставим значения в системе СИ:

$P = \frac{0,0075 \text{ моль} \cdot 8,31 \frac{\text{Дж}}{\text{моль} \cdot \text{К}} \cdot 300 \text{ К}}{2,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3} = \frac{18,6975 \text{ Дж}}{2,5 \cdot 10^{-4} \text{ м}^3} = 74790 \text{ Па}$

Переведем в килопаскали:

$P = 74,79 \text{ кПа} \approx 74,8 \text{ кПа}$

Ответ: давление гелия $^3_2$He через 24,6 года будет равно $7,48 \cdot 10^4 \text{ Па}$ или $74,8 \text{ кПа}$.