Номер 989, страница 277 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

989. Из ядерного реактора извлекли радионуклид с периодом полураспада $T_{1/2} = 8$ сут. Определите промежуток времени, за который количество вещества радионуклида уменьшится от $\nu_1 = 9,6 \cdot 10^{-6}$ моль до $\nu_2 = 1,2 \cdot 10^{-6}$ моль.

Дано:

$T_{1/2} = 8$ сут
$\nu_1 = 9,6 \cdot 10^{-6}$ моль
$\nu_2 = 1,2 \cdot 10^{-6}$ моль

$T_{1/2} = 8 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 691200 \text{ с}$

Найти:

$t$ - ?

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает изменение количества нераспавшихся ядер со временем. Его можно записать для количества вещества $\nu$, так как оно прямо пропорционально числу ядер.

Формула закона радиоактивного распада:

$\nu(t) = \nu_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

В нашем случае $\nu_0 = \nu_1$ — начальное количество вещества, а $\nu(t) = \nu_2$ — конечное количество вещества.

$\nu_2 = \nu_1 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Чтобы найти время $t$, сначала выразим отношение $\frac{\nu_2}{\nu_1}$:

$\frac{\nu_2}{\nu_1} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Подставим числовые значения из условия задачи:

$\frac{1,2 \cdot 10^{-6} \text{ моль}}{9,6 \cdot 10^{-6} \text{ моль}} = \frac{1,2}{9,6} = \frac{12}{96} = \frac{1}{8}$

Теперь наше уравнение выглядит так:

$\frac{1}{8} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Представим дробь $\frac{1}{8}$ в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

Приравняем выражения:

$2^{-3} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-3 = -\frac{t}{T_{1/2}}$

$3 = \frac{t}{T_{1/2}}$

Из этого соотношения выражаем искомое время $t$:

$t = 3 \cdot T_{1/2}$

Подставляем значение периода полураспада $T_{1/2} = 8$ сут:

$t = 3 \cdot 8 \text{ сут} = 24 \text{ сут}$

Ответ: промежуток времени равен 24 сут.