Номер 983, страница 275 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

983. За время $t_1 = 100 \text{ с}$ распалась половина ядер некоторого радионуклида.

За какое время после этого распадется $\alpha = 75 \, \%$ оставшихся ядер?

Дано:

$t_1 = 100$ с

$\alpha = 75 \% = 0.75$

Найти:

$t_2$ - ?

Решение:

По определению, период полураспада $T_{1/2}$ – это время, в течение которого распадается половина от начального числа радиоактивных ядер. Согласно условию, за время $t_1 = 100$ с распалась половина ядер некоторого радионуклида. Следовательно, период полураспада этого радионуклида равен $t_1$.

$T_{1/2} = t_1 = 100$ с.

Пусть в начальный момент времени было $N_0$ ядер. Тогда через время $t_1$ число оставшихся (не распавшихся) ядер будет равно:

$N_1 = \frac{N_0}{2}$

Далее необходимо найти время $t_2$, за которое распадется $\alpha = 75\%$ от *оставшихся* ядер, то есть от $N_1$. Количество ядер, которое должно распасться, составляет:

$\Delta N = \alpha \cdot N_1 = 0.75 \cdot N_1 = \frac{3}{4} N_1$

Тогда количество ядер, которое останется по истечении времени $t_2$, будет:

$N_2 = N_1 - \Delta N = N_1 - 0.75 N_1 = 0.25 N_1 = \frac{1}{4} N_1$

Воспользуемся законом радиоактивного распада, который связывает число оставшихся ядер $N(t)$ с начальным их числом $N_{start}$ и периодом полураспада $T_{1/2}$:

$N(t) = N_{start} \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Для второго этапа распада начальным количеством ядер является $N_1$, конечным — $N_2$, а искомое время — $t_2$. Подставим эти значения в формулу:

$N_2 = N_1 \cdot 2^{-t_2/T_{1/2}}$

$\frac{1}{4} N_1 = N_1 \cdot 2^{-t_2/T_{1/2}}$

Разделим обе части уравнения на $N_1$:

$\frac{1}{4} = 2^{-t_2/T_{1/2}}$

Представим $\frac{1}{4}$ как степень двойки: $\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$.

$2^{-2} = 2^{-t_2/T_{1/2}}$

Так как основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$-2 = -\frac{t_2}{T_{1/2}}$

Отсюда выразим $t_2$:

$t_2 = 2 \cdot T_{1/2}$

Подставим значение периода полураспада $T_{1/2} = 100$ с:

$t_2 = 2 \cdot 100 \text{ с} = 200 \text{ с}$

Ответ: 200 с.