Номер 978, страница 274 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

978. Об открытии полония супруги Кюри сообщили в июле 1898 года. Определите, какая доля атомов полония, находившихся в то время в лаборатории Кюри, не распалась до ноября 1918 года, когда на картах мира появилась Польша, в честь которой полоний и был назван. Период полураспада полония ${}_{84}^{210}\text{Po}$ составляет $T_{1/2} = 138$ дней.

Дано:

Начальная дата: июль 1898 г.

Конечная дата: ноябрь 1918 г.

Период полураспада полония $^{210}_{84}$Po: $T_{1/2} = 138$ дней

Найти:

Долю нераспавшихся атомов полония $\frac{N}{N_0}$

Решение:

1. Сначала определим промежуток времени $t$, прошедший с июля 1898 года по ноябрь 1918 года.

Промежуток времени с июля 1898 г. по июль 1918 г. составляет ровно 20 лет.

В этот период входят следующие високосные годы: 1904, 1908, 1912, 1916. Год 1900 не является високосным, так как он не делится на 400. Таким образом, у нас 4 високосных года и 16 обычных.

Количество дней за 20 лет: $t_{годы} = 4 \times 366 \text{ дней} + 16 \times 365 \text{ дней} = 1464 + 5840 = 7304$ дня.

Теперь рассчитаем количество дней с июля 1918 г. по ноябрь 1918 г. Будем считать, что прошло 4 полных месяца: июль, август, сентябрь, октябрь.

$t_{месяцы} = 31 \text{ (июль)} + 31 \text{ (август)} + 30 \text{ (сентябрь)} + 31 \text{ (октябрь)} = 123$ дня.

Общий промежуток времени $t$ составляет:

$t = t_{годы} + t_{месяцы} = 7304 + 123 = 7427$ дней.

2. Закон радиоактивного распада связывает количество нераспавшихся атомов $N$ с начальным количеством атомов $N_0$ через время $t$ и период полураспада $T_{1/2}$:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

3. Доля нераспавшихся атомов, которую нам нужно найти, равна отношению $\frac{N}{N_0}$:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

4. Подставим известные значения в формулу:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{7427}{138}}$

Рассчитаем показатель степени:

$\frac{7427}{138} \approx 53.82$

Тогда доля нераспавшихся атомов равна:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-53.82}$

Для вычисления этого значения можно использовать логарифмы или калькулятор:

$2^{-53.82} = \frac{1}{2^{53.82}} \approx \frac{1}{1.65 \cdot 10^{16}} \approx 6.06 \cdot 10^{-17}$

Таким образом, к ноябрю 1918 года от первоначального количества полония осталась чрезвычайно малая доля.

Ответ: Доля нераспавшихся атомов полония составляет $\frac{N}{N_0} = 2^{-7427/138} \approx 6 \cdot 10^{-17}$.