Номер 985, страница 275 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

985. Период полураспада радиоактивного стронция ${}_{38}^{90}\text{Sr}$ равен $T_{1/2} = 29$ лет. Постройте график зависимости числа ядер стронция от времени, если начальная масса стронция $m_0 = 72$ мг.

Дано:

Изотоп: стронций-90 ($^{90}_{38}Sr$)
Период полураспада: $T_{1/2} = 29$ лет
Начальная масса: $m_0 = 72$ мг

Перевод в систему СИ:
$m_0 = 72 \text{ мг} = 72 \times 10^{-6} \text{ кг}$
$T_{1/2} = 29 \text{ лет} \approx 29 \times 3.156 \times 10^7 \text{ с} \approx 9.15 \times 10^8 \text{ с}$

Найти:

Построить график зависимости числа ядер стронция от времени $N(t)$.

Решение:

Зависимость числа нераспавшихся радиоактивных ядер $N$ от времени $t$ описывается законом радиоактивного распада:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

Для построения графика необходимо сначала найти начальное число ядер $N_0$, содержащихся в массе $m_0 = 72$ мг стронция-90. Это можно сделать по формуле:

$N_0 = \frac{m_0}{M} N_A$

Здесь $N_A \approx 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1}$ — постоянная Авогадро, а $M$ — молярная масса стронция-90. Молярная масса изотопа с высокой точностью равна его массовому числу, выраженному в г/моль. Для $^{90}Sr$ массовое число равно 90.

$M(^{90}Sr) \approx 90 \text{ г/моль} = 0.09 \text{ кг/моль}$.

Переведем начальную массу в граммы для удобства расчета: $m_0 = 72 \text{ мг} = 0.072 \text{ г}$.

Теперь рассчитаем $N_0$:

$N_0 = \frac{0.072 \text{ г}}{90 \text{ г/моль}} \times 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 0.0008 \times 6.022 \times 10^{23} \approx 4.818 \times 10^{20}$

Итак, начальное число ядер составляет приблизительно $4.82 \times 10^{20}$.

Для построения графика рассчитаем число оставшихся ядер $N(t)$ для моментов времени, кратных периоду полураспада $T_{1/2} = 29$ лет.

При $t = 0$ лет (начальный момент):
$N(0) = N_0 \approx 4.82 \times 10^{20}$

При $t = 1 \cdot T_{1/2} = 29$ лет:
$N(29) = \frac{N_0}{2} \approx \frac{4.818 \times 10^{20}}{2} \approx 2.41 \times 10^{20}$

При $t = 2 \cdot T_{1/2} = 58$ лет:
$N(58) = \frac{N_0}{4} \approx \frac{4.818 \times 10^{20}}{4} \approx 1.20 \times 10^{20}$

При $t = 3 \cdot T_{1/2} = 87$ лет:
$N(87) = \frac{N_0}{8} \approx \frac{4.818 \times 10^{20}}{8} \approx 0.60 \times 10^{20}$

При $t = 4 \cdot T_{1/2} = 116$ лет:
$N(116) = \frac{N_0}{16} \approx \frac{4.818 \times 10^{20}}{16} \approx 0.30 \times 10^{20}$

Таким образом, мы получили следующие точки для построения графика (время в годах; число ядер):

(0; $4.82 \times 10^{20}$)
(29; $2.41 \times 10^{20}$)
(58; $1.20 \times 10^{20}$)
(87; $0.60 \times 10^{20}$)
(116; $0.30 \times 10^{20}$)

График зависимости числа ядер от времени строится в координатах $(t, N)$. По оси абсцисс откладывается время $t$ в годах, по оси ординат — число ядер $N$. Масштаб по оси ординат удобно взять в единицах $10^{20}$. Соединив полученные точки плавной кривой, получим график экспоненциального убывания. Кривая начинается на оси ординат в точке $(0, N_0)$ и асимптотически приближается к оси времени, не пересекая ее.

Ответ:

Для построения графика зависимости числа ядер стронция-90 от времени необходимо рассчитать начальное количество ядер $N_0 \approx 4.82 \times 10^{20}$ и затем использовать закон радиоактивного распада $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$. График представляет собой экспоненциальную кривую, проходящую через ключевые точки: (0 лет; $4.82 \times 10^{20}$ ядер), (29 лет; $2.41 \times 10^{20}$ ядер), (58 лет; $1.20 \times 10^{20}$ ядер), (87 лет; $0.60 \times 10^{20}$ ядер) и т.д., где каждые 29 лет число ядер уменьшается вдвое.