Номер 980, страница 275 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

980. За время $t = 24$ сут. распалось $\frac{7}{8}$ ядер некоторого радионуклида. Определите период полураспада этого радионуклида.

Дано:

$t = 24$ суток

Доля распавшихся ядер $\frac{\Delta N}{N_0} = \frac{7}{8}$

Перевод в систему СИ:

$t = 24 \cdot 24 \cdot 3600 \, \text{с} = 2073600 \, \text{с}$

Найти:

$T$ — ?

Решение:

Закон радиоактивного распада описывается формулой:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N$ — число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ — начальное число ядер, $T$ — период полураспада.

По условию задачи, за время $t$ распалось $\frac{7}{8}$ всех ядер. Это означает, что число распавшихся ядер $\Delta N$ составляет $\frac{7}{8}N_0$.

Тогда число оставшихся (нераспавшихся) ядер $N$ равно:

$N = N_0 - \Delta N = N_0 - \frac{7}{8}N_0 = (1 - \frac{7}{8})N_0 = \frac{1}{8}N_0$

Подставим это выражение в формулу закона радиоактивного распада:

$\frac{1}{8}N_0 = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

Сократим $N_0$ в обеих частях уравнения:

$\frac{1}{8} = 2^{-t/T}$

Представим $\frac{1}{8}$ как степень двойки:

$\frac{1}{8} = \frac{1}{2^3} = 2^{-3}$

Теперь уравнение имеет вид:

$2^{-3} = 2^{-t/T}$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять показатели:

$-3 = -\frac{t}{T}$

Отсюда выразим период полураспада $T$:

$T = \frac{t}{3}$

Подставим известное значение времени $t = 24$ суток:

$T = \frac{24 \, \text{сут.}}{3} = 8 \, \text{сут.}$

Ответ: период полураспада этого радионуклида равен 8 суткам.