Номер 973, страница 274 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

973. В результате $\alpha^{-}$ и $\beta^{-}$-распадов образовались $\alpha$- и $\beta$-частицы с одинаковой кинетической энергией $E_{\text{к}} = 4$ МэВ.

Определите отношение скорости $\beta$-частицы к скорости $\alpha$-частицы.

Дано

Кинетическая энергия α-частицы $E_{k,α} = 4$ МэВ.
Кинетическая энергия β-частицы $E_{k,β} = 4$ МэВ.
Масса покоя α-частицы $m_α \approx 6,64 \cdot 10^{-27}$ кг (соответствует энергии покоя $E_{0,α} \approx 3727$ МэВ).
Масса покоя β-частицы (электрона) $m_β \approx 9,11 \cdot 10^{-31}$ кг (соответствует энергии покоя $E_{0,β} \approx 0,511$ МэВ).

Перевод в СИ:
$E_k = E_{k,α} = E_{k,β} = 4 \text{ МэВ} = 4 \cdot 1,602 \cdot 10^{-13} \text{ Дж} \approx 6,41 \cdot 10^{-13}$ Дж.

Найти:

$\frac{v_β}{v_α}$

Решение

Для нахождения скоростей частиц необходимо определить, применимы ли для них формулы классической механики или требуется использование релятивистских формул. Для этого сравним кинетическую энергию каждой частицы с ее энергией покоя $E_0 = m_0c^2$.

Для α-частицы её энергия покоя $E_{0,α} \approx 3727$ МэВ. Заданная кинетическая энергия $E_{k,α} = 4$ МэВ. Так как $E_{k,α} \ll E_{0,α}$, движение α-частицы является нерелятивистским. Ее скорость можно найти из классической формулы для кинетической энергии:$E_{k,α} = \frac{m_α v_α^2}{2}$.
Отсюда квадрат скорости α-частицы:$v_α^2 = \frac{2E_{k,α}}{m_α}$.

Для β-частицы (электрона) энергия покоя $E_{0,β} \approx 0,511$ МэВ. Заданная кинетическая энергия $E_{k,β} = 4$ МэВ. В этом случае $E_{k,β} > E_{0,β}$, поэтому движение β-частицы является релятивистским. Необходимо использовать релятивистскую формулу для кинетической энергии:$E_{k,β} = (\gamma - 1)m_βc^2$, где $\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (v_β/c)^2}}$ — фактор Лоренца.
Полная релятивистская энергия частицы равна $E_β = E_{k,β} + E_{0,β}$. Также $E_β = \gamma m_βc^2$.Приравнивая выражения для полной энергии, получим:$E_{k,β} + m_βc^2 = \frac{m_βc^2}{\sqrt{1 - v_β^2/c^2}}$.
Выразим из этого уравнения квадрат скорости $v_β^2$:$1 - \frac{v_β^2}{c^2} = \left(\frac{m_βc^2}{E_{k,β} + m_βc^2}\right)^2$.
$\frac{v_β^2}{c^2} = 1 - \left(\frac{m_βc^2}{E_{k,β} + m_βc^2}\right)^2 = \frac{(E_{k,β} + m_βc^2)^2 - (m_βc^2)^2}{(E_{k,β} + m_βc^2)^2} = \frac{E_{k,β}^2 + 2E_{k,β}m_βc^2}{(E_{k,β} + m_βc^2)^2}$.
$v_β^2 = c^2 \frac{E_{k,β}(E_{k,β} + 2m_βc^2)}{(E_{k,β} + m_βc^2)^2}$.

Теперь найдем искомое отношение скоростей. Для удобства сначала найдем квадрат этого отношения. Учитывая, что по условию $E_k = E_{k,α} = E_{k,β}$:$\left(\frac{v_β}{v_α}\right)^2 = \frac{v_β^2}{v_α^2} = \frac{c^2 \frac{E_k(E_k + 2m_βc^2)}{(E_k + m_βc^2)^2}}{\frac{2E_k}{m_α}} = \frac{m_α c^2 (E_k + 2m_βc^2)}{2(E_k + m_βc^2)^2}$.

Подставим числовые значения энергий, выраженные в МэВ:$\left(\frac{v_β}{v_α}\right)^2 = \frac{3727 \text{ МэВ} \cdot (4 \text{ МэВ} + 2 \cdot 0,511 \text{ МэВ})}{2 \cdot (4 \text{ МэВ} + 0,511 \text{ МэВ})^2} = \frac{3727 \cdot (4 + 1,022)}{2 \cdot (4,511)^2} = \frac{3727 \cdot 5,022}{2 \cdot 20,349} \approx \frac{18718,6}{40,698} \approx 460$.

Следовательно, искомое отношение скоростей равно:$\frac{v_β}{v_α} = \sqrt{460} \approx 21,45$.

Ответ: Отношение скорости β-частицы к скорости α-частицы составляет приблизительно 21,45.