Номер 979, страница 275 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

979. Образец массой $m = 1\text{ г}$ состоит из $100\text{ \% } \beta^-$-активного цезия $^{137}_{55}\text{Cs}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 30\text{ лет}$.

Определите:

а) сколько атомов цезия останется в образце через $t = 30\text{ лет}$;

б) массу образца к этому моменту времени.

Дано:

$m_0 = 1 \cdot 10^{-3} \text{ кг}$
$T_{1/2} = 30 \text{ лет} \approx 9.46 \cdot 10^8 \text{ c}$
$t = 30 \text{ лет} \approx 9.46 \cdot 10^8 \text{ c}$

Найти:

Решение:

а)Первоначально найдем начальное число атомов цезия-137 ($N_0$) в образце массой $m_0 = 1$ г. Число атомов можно найти по формуле:$N_0 = \frac{m_0}{M} \cdot N_A$,где $M$ — молярная масса цезия-137, $N_A$ — число Авогадро.Молярная масса изотопа $^{137}\text{Cs}$ примерно равна его массовому числу: $M \approx 137$ г/моль.Число Авогадро $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23}$ моль$^{-1}$.Подставим значения:$N_0 = \frac{1 \text{ г}}{137 \text{ г/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 4.396 \cdot 10^{21}$ атомов.

Закон радиоактивного распада описывает изменение числа нераспавшихся ядер со временем:$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$,где $N(t)$ — число атомов, оставшихся через время $t$, $N_0$ — начальное число атомов, $T_{1/2}$ — период полураспада.В нашем случае время $t$ равно периоду полураспада $T_{1/2}$: $t = 30$ лет.$N = N_0 \cdot 2^{-30/30} = N_0 \cdot 2^{-1} = \frac{N_0}{2}$.Теперь вычислим количество оставшихся атомов:$N = \frac{4.396 \cdot 10^{21}}{2} = 2.198 \cdot 10^{21} \approx 2.20 \cdot 10^{21}$ атомов.
Ответ: через 30 лет в образце останется примерно $2.20 \cdot 10^{21}$ атомов цезия.

б)Цезий-137 является β⁻-активным изотопом. Реакция распада выглядит следующим образом:$^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + e^{-} + \bar{\nu}_e$При β⁻-распаде один из нейтронов ядра превращается в протон, при этом испускается электрон ($e^{-}$) и электронное антинейтрино ($\bar{\nu}_e$). В результате образуется ядро бария-137 ($^{137}_{56}\text{Ba}$).

За 30 лет (один период полураспада) половина исходной массы цезия-137 распадется.Масса оставшегося цезия: $m_{Cs} = \frac{m_0}{2} = \frac{1 \text{ г}}{2} = 0.5$ г.Масса распавшегося цезия также составляет 0.5 г. Эта масса превратилась в барий-137 и испущенные частицы.Поскольку массовые числа цезия-137 и бария-137 одинаковы (137), их молярные массы практически равны. Масса электрона и энергия, уносимая частицами (массовый дефект), в таких задачах, как правило, пренебрежимо малы по сравнению с общей массой образца. Таким образом, можно считать, что масса 0.5 г распавшегося цезия превратилась в 0.5 г бария.Масса всего образца к этому моменту времени будет складываться из массы оставшегося цезия и массы образовавшегося бария:$m_{обр} = m_{Cs} + m_{Ba} \approx 0.5 \text{ г} + 0.5 \text{ г} = 1$ г.Таким образом, общая масса твердого образца практически не изменится.
Ответ: масса образца к этому моменту времени составит примерно 1 г.