Номер 974, страница 274 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

974. В результате радиоактивного распада число ядер некоторого радиоактивного элемента уменьшилось с $N_0$ до $N$ за время $t$. Укажите формулу, по которой можно рассчитать период полураспада этого элемента:

1) $T=t \cdot 2^{\frac{N}{N_0}}$

2) $T=t \cdot 2^{-\left(\frac{N}{N_0}\right)}$

3) $T=-t \cdot \frac{\ln 2}{\ln \frac{N}{N_0}}$

4) $T=-t \cdot \frac{\ln \frac{N}{N_0}}{\ln 2}$

5) $T=t \cdot \sqrt{\frac{N}{N_0}}$

6) $T=t \cdot \left(\frac{N}{N_0}\right)^2$

Дано:

$N_0$ - начальное число ядер радиоактивного элемента.

$N$ - число нераспавшихся ядер через время $t$.

$t$ - время распада.

Найти:

$T$ - период полураспада.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает изменение числа нераспавшихся ядер со временем. Он выражается формулой:

$N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T}}$

где $N$ — число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ — начальное число ядер, $T$ — период полураспада.

Для того чтобы найти формулу для периода полураспада $T$, выразим его из этого уравнения.

Сначала разделим обе части уравнения на $N_0$:

$\frac{N}{N_0} = 2^{-\frac{t}{T}}$

Далее, чтобы избавиться от показательной функции, прологарифмируем обе части уравнения по основанию $e$ (возьмем натуральный логарифм):

$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = \ln\left(2^{-\frac{t}{T}}\right)$

Используем свойство логарифма $\ln(a^b) = b \cdot \ln(a)$:

$\ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -\frac{t}{T} \cdot \ln(2)$

Теперь выразим $T$ из полученного равенства. Умножим обе части на $T$:

$T \cdot \ln\left(\frac{N}{N_0}\right) = -t \cdot \ln(2)$

И разделим обе части на $\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)$:

$T = \frac{-t \cdot \ln(2)}{\ln\left(\frac{N}{N_0}\right)}$

Запишем в виде, предложенном в вариантах ответа:

$T = -t \cdot \frac{\ln 2}{\ln\frac{N}{N_0}}$

Эта формула совпадает с вариантом ответа под номером 3.

Ответ: 3) $T = -t \cdot \frac{\ln 2}{\ln\frac{N}{N_0}}$