Номер 975, страница 274 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

975. Период полураспада цезия ${}_{55}^{137}\text{Cs}$ равен $T_{1/2} = 30$ лет. Определите, сколько ядер останется не распавшимися за время $t = 60$ лет, если начальное число радиоактивных ядер $N_0 = 4 \cdot 10^{20}$.

Дано:

Изотоп: цезий-137 ($_{55}^{137}\text{Cs}$)

Период полураспада, $T_{1/2} = 30$ лет

Время, $t = 60$ лет

Начальное число ядер, $N_0 = 4 \cdot 10^{20}$

В данной задаче единицы времени для периода полураспада и прошедшего времени совпадают (годы), поэтому перевод в систему СИ (секунды) не требуется, так как в формуле используется их отношение.

Найти:

Число нераспавшихся ядер через 60 лет, $N$ - ?

Решение:

Для решения задачи воспользуемся законом радиоактивного распада, который связывает число нераспавшихся ядер $N$ с начальным числом ядер $N_0$, временем распада $t$ и периодом полураспада $T_{1/2}$. Формула имеет вид:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Подставим известные значения в эту формулу:

$N = (4 \cdot 10^{20}) \cdot 2^{-60 \text{ лет} / 30 \text{ лет}}$

Сначала вычислим показатель степени:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{60}{30} = 2$

Таким образом, прошло ровно два периода полураспада. Теперь подставим это значение обратно в формулу:

$N = (4 \cdot 10^{20}) \cdot 2^{-2}$

Так как $2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4}$, то:

$N = (4 \cdot 10^{20}) \cdot \frac{1}{4}$

$N = \frac{4 \cdot 10^{20}}{4} = 1 \cdot 10^{20} = 10^{20}$

Ответ: через 60 лет останется $10^{20}$ нераспавшихся ядер цезия-137.