Номер 982, страница 275 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

982. За время $t_1 = 54$ сут. количество ядер радиоактивного протактиния $_{91}^{233}\text{Pa}$ уменьшилось в $n_1 = 4$ раза. Во сколько раз оно уменьшится за время $t_2 = 108$ сут. от начала наблюдения? Определите период полураспада протактиния $_{91}^{233}\text{Pa}$.

Дано:

$t_1 = 54$ сут.

$n_1 = 4$

$t_2 = 108$ сут.

Перевод в систему СИ:

$t_1 = 54 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 4665600 \text{ с}$

$t_2 = 108 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 9331200 \text{ с}$

Найти:

$n_2$ — во сколько раз уменьшится количество ядер за время $t_2$.

$T$ — период полураспада.

Решение:

Закон радиоактивного распада описывается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

где $N(t)$ – число нераспавшихся ядер в момент времени $t$, $N_0$ – начальное число ядер, а $T$ – период полураспада.

Уменьшение количества ядер в $n$ раз означает, что $N(t) = N_0/n$. Тогда:

$N_0/n = N_0 \cdot 2^{-t/T}$

$1/n = 2^{-t/T}$

$n = 2^{t/T}$

Эта формула связывает время $t$, период полураспада $T$ и кратность уменьшения числа ядер $n$.

Во сколько раз оно уменьшится за время $t_2 = 108$ сут. от начала наблюдения?

Для нахождения величины $n_2$ за время $t_2$ необходимо сначала определить период полураспада $T$ из данных для первого промежутка времени $t_1$.

По условию, за время $t_1 = 54$ сут. количество ядер уменьшилось в $n_1 = 4$ раза. Подставим эти значения в нашу формулу:

$n_1 = 2^{t_1/T}$

$4 = 2^{54/T}$

Так как $4 = 2^2$, мы можем переписать уравнение в виде:

$2^2 = 2^{54/T}$

Приравнивая показатели степени, получаем:

$2 = 54/T$

Отсюда находим период полураспада:

$T = 54/2 = 27$ сут.

Теперь мы можем рассчитать, во сколько раз уменьшится количество ядер за время $t_2 = 108$ сут.:

$n_2 = 2^{t_2/T} = 2^{108/27}$

Вычисляем показатель степени: $108 / 27 = 4$.

$n_2 = 2^4 = 16$

Ответ: за 108 суток количество ядер уменьшится в 16 раз.

Определите период полураспада протактиния $_{91}^{233}\text{Pa}$.

Период полураспада был определен в ходе решения предыдущего пункта. Используя данные, что за время $t_1 = 54$ сут. количество ядер уменьшилось в $n_1 = 4$ раза, мы получили уравнение:

$4 = 2^{54/T}$

$2^2 = 2^{54/T}$

Из равенства показателей степени $2 = 54/T$ следует, что период полураспада равен:

$T = 27$ сут.

В системе СИ: $T = 27 \cdot 24 \cdot 3600 = 2332800 \text{ с}$.

Ответ: период полураспада протактиния $_{91}^{233}\text{Pa}$ равен 27 сут. (2 332 800 с).