Номер 988, страница 276 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

988. На рисунке 228 представлен график зависимости числа радиоактивных ядер кобальта $^{\text{58}}_{\text{27}}\text{Co}$ от времени. Найдите суммарное число нейтронов, находящихся во всех ядрах кобальта, которые не распадутся за время $\Delta t = 213 \text{ сут}$.

Рис. 228

Дано:

Изотоп: $_{27}^{58}\text{Co}$
Время: $\Delta t = 213 \text{ сут}$
График зависимости числа ядер от времени $N(t)$.
Из графика, начальное число ядер: $N_0 = 24 \cdot 10^{26}$

Данные в СИ переводить не требуется, так как время в задаче и на графике дано в сутках, что является согласованной единицей измерения для данной задачи.

Найти:

Суммарное число нейтронов $N_n$ в нераспавшихся ядрах кобальта через время $\Delta t$.

Решение:

1. Сначала определим период полураспада $T$ кобальта-58, используя предоставленный график. В начальный момент времени ($t=0$) число радиоактивных ядер составляло $N_0 = 24 \cdot 10^{26}$. Период полураспада — это время, в течение которого количество ядер уменьшается вдвое. Найдем на графике время, которое соответствует числу ядер $N = N_0 / 2 = (24 \cdot 10^{26}) / 2 = 12 \cdot 10^{26}$. Из графика видно, что это время составляет примерно 71 сутки.

Для проверки этого значения посмотрим, какое количество ядер останется через два периода полураспада, то есть через время $t = 2T = 2 \cdot 71 = 142 \text{ сут}$. Число оставшихся ядер должно быть $N(2T) = N_0 / 4 = (24 \cdot 10^{26}) / 4 = 6 \cdot 10^{26}$. Посмотрев на график, мы видим, что при $t=142 \text{ сут}$ число ядер действительно равно $6 \cdot 10^{26}$. Это подтверждает, что период полураспада $T = 71 \text{ сут}$.

2. Теперь найдем число ядер кобальта $N(\Delta t)$, которые не распадутся за заданное время $\Delta t = 213 \text{ сут}$. Воспользуемся законом радиоактивного распада: $N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T}$.

Вычислим, сколько периодов полураспада прошло за 213 суток: $\frac{\Delta t}{T} = \frac{213 \text{ сут}}{71 \text{ сут}} = 3$.

Таким образом, прошло ровно 3 периода полураспада. Число нераспавшихся ядер будет равно: $N(213) = N_0 \cdot 2^{-3} = \frac{N_0}{8} = \frac{24 \cdot 10^{26}}{8} = 3 \cdot 10^{26}$.

3. Далее определим количество нейтронов $n$ в одном ядре кобальта $_{27}^{58}\text{Co}$. Массовое число $A$ (сумма протонов и нейтронов) равно 58. Зарядовое число $Z$ (число протонов) равно 27. Число нейтронов $n$ вычисляется как разность массового и зарядового чисел: $n = A - Z = 58 - 27 = 31$.

4. Наконец, найдем суммарное число нейтронов $N_n$ во всех нераспавшихся ядрах. Для этого умножим число нераспавшихся ядер $N(213)$ на число нейтронов в одном ядре $n$: $N_n = N(213) \cdot n = (3 \cdot 10^{26}) \cdot 31 = 93 \cdot 10^{26} = 9.3 \cdot 10^{27}$.

Ответ: суммарное число нейтронов, находящихся во всех ядрах кобальта, которые не распадутся за время 213 суток, равно $9.3 \cdot 10^{27}$.