Номер 990, страница 277 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

990. Цезий $_{55}^{137}\text{Cs}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 30$ лет, испытывает $\beta^{-}$-распад. Определите суммарный заряд электронов, испущенных ядрами цезия за время $t = 60$ лет, если начальная масса цезия $m_0 = 6,85$ г.

Дано:

Изотоп: $^{137}_{55}\text{Cs}$

Период полураспада, $T_{1/2} = 30$ лет

Время, $t = 60$ лет

Начальная масса, $m_0 = 6,85$ г

Справочные данные:
Молярная масса цезия-137, $M \approx 137$ г/моль
Постоянная Авогадро, $N_A \approx 6,022 \times 10^{23}$ моль⁻¹
Элементарный заряд, $e \approx 1,602 \times 10^{-19}$ Кл

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 6,85 \text{ г} = 6,85 \times 10^{-3} \text{ кг}$

$M \approx 137 \text{ г/моль} = 0,137 \text{ кг/моль}$

Найти:

$Q$

Решение:

При $\beta^-$-распаде ядро цезия-137 превращается в ядро бария-137, испуская электрон ($e^−$) и электронное антинейтрино ($\bar{\nu}_e$). Реакция распада выглядит следующим образом:

$^{137}_{55}\text{Cs} \rightarrow ^{137}_{56}\text{Ba} + e^{-} + \bar{\nu}_e$

Из уравнения видно, что при распаде одного ядра цезия-137 испускается один электрон. Следовательно, чтобы найти суммарный заряд всех испущенных электронов, нужно сначала определить количество распавшихся ядер цезия за время $t$, а затем умножить это количество на заряд одного электрона, который равен $-e$.

1. Найдем начальное количество ядер цезия $N_0$ в образце массой $m_0$. Оно равно произведению количества вещества $\nu$ на постоянную Авогадро $N_A$.

$\nu = \frac{m_0}{M}$

$N_0 = \nu \cdot N_A = \frac{m_0}{M} \cdot N_A$

Подставим числовые значения:

$N_0 = \frac{6,85 \text{ г}}{137 \text{ г/моль}} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} = 0,05 \text{ моль} \cdot 6,022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 3,011 \times 10^{22}$

2. Определим количество распавшихся ядер $\Delta N$ за время $t=60$ лет, используя закон радиоактивного распада. Количество нераспавшихся ядер $N(t)$ через время $t$ определяется формулой:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

Тогда количество распавшихся ядер равно разности начального и оставшегося числа ядер:

$\Delta N = N_0 - N(t) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}} = N_0 (1 - 2^{-t/T_{1/2}})$

Подставим значения времени $t=60$ лет и периода полураспада $T_{1/2}=30$ лет:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{60 \text{ лет}}{30 \text{ лет}} = 2$

$\Delta N = N_0 (1 - 2^{-2}) = N_0 (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} N_0$

Теперь вычислим число распавшихся ядер:

$\Delta N = \frac{3}{4} \cdot 3,011 \times 10^{22} \approx 2,258 \times 10^{22}$

3. Найдем суммарный заряд $Q$ всех испущенных электронов. Поскольку каждый распад сопровождается испусканием одного электрона с зарядом $-e$, суммарный заряд равен:

$Q = \Delta N \cdot (-e)$

$Q \approx 2,258 \times 10^{22} \cdot (-1,602 \times 10^{-19} \text{ Кл}) \approx -3617,3 \text{ Кл}$

Округлим результат до трех значащих цифр, в соответствии с точностью начальной массы ($m_0 = 6,85$ г).

$Q \approx -3,62 \times 10^3 \text{ Кл} = -3,62 \text{ кКл}$

Ответ:

Суммарный заряд электронов, испущенных ядрами цезия за 60 лет, составляет приблизительно $-3,62 \times 10^3$ Кл.