Номер 991, страница 277 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

991. Самарий $^{132}_{62}\text{Sm}$, период полураспада которого $T_{1/2}=4,0 \text{ с}$, испытывает $\beta^{-}$-распад. Определите среднюю силу тока, который могли бы создать электроны, вылетающие при радиоактивном распаде за время $\Delta t = 20 \text{ с}$, если бы они двигались в одном направлении. Известно, что начальное число ядер самария $N_0 = 4 \cdot 10^{19}$.

Дано:

Изотоп: Самарий-132 ($^{132}_{62}Sm$)

Период полураспада, $T_{1/2} = 4,0$ с

Время распада, $Δt = 20$ с

Начальное число ядер, $N_0 = 4 \cdot 10^{19}$

Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл

Все данные представлены в системе СИ.

Найти:

Средняя сила тока, $I_{ср}$

Решение:

При $β^{-}$-распаде каждое ядро самария испускает один электрон. Таким образом, количество электронов, вылетевших за время $Δt$, равно количеству распавшихся за это время ядер $ΔN$.

Средняя сила тока $I_{ср}$ по определению равна отношению общего заряда $Δq$, прошедшего через некоторую поверхность, ко времени $Δt$, за которое этот заряд прошел:

$I_{ср} = \frac{Δq}{Δt}$

Общий заряд $Δq$ равен произведению числа вылетевших электронов $ΔN$ на элементарный заряд $e$:

$Δq = ΔN \cdot e$

Следовательно, формула для средней силы тока имеет вид:

$I_{ср} = \frac{ΔN \cdot e}{Δt}$

Число распавшихся ядер $ΔN$ можно найти с помощью закона радиоактивного распада. Число ядер $N$, оставшихся нераспавшимися к моменту времени $t$, описывается формулой:

$N(t) = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $N_0$ — начальное число ядер, а $T_{1/2}$ — период полураспада.

Тогда число распавшихся за время $Δt$ ядер равно разности между начальным и оставшимся числом ядер:

$ΔN = N_0 - N(Δt) = N_0 - N_0 \cdot 2^{-Δt/T_{1/2}} = N_0(1 - 2^{-Δt/T_{1/2}})$

Подставим это выражение в формулу для силы тока:

$I_{ср} = \frac{N_0(1 - 2^{-Δt/T_{1/2}}) \cdot e}{Δt}$

Произведем вычисления. Сначала определим, сколько периодов полураспада прошло за время $Δt$:

$\frac{Δt}{T_{1/2}} = \frac{20 \text{ с}}{4,0 \text{ с}} = 5$

Теперь подставим все известные значения в итоговую формулу:

$I_{ср} = \frac{4 \cdot 10^{19} \cdot (1 - 2^{-5}) \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}}{20 \text{ с}}$

Вычислим выражение в скобках:

$1 - 2^{-5} = 1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}$

Подставим это значение обратно в формулу и выполним вычисления:

$I_{ср} = \frac{4 \cdot 10^{19} \cdot \frac{31}{32} \cdot 1,6 \cdot 10^{-19}}{20} \text{ А} = \frac{4 \cdot 31 \cdot 1,6}{32 \cdot 20} \text{ А}$

Сократим и упростим выражение:

$I_{ср} = \frac{31 \cdot 1,6}{8 \cdot 20} \text{ А} = \frac{31 \cdot 0,2}{20} \text{ А} = \frac{6,2}{20} \text{ А} = 0,31 \text{ А}$

Ответ: средняя сила тока, который могли бы создать электроны, равна $0,31$ А.