Номер 995, страница 277 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

995. Висмут $_{83}^{210}\text{Bi}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 5,0$ сут., испытывает $\alpha$-распад. Определите суммарный заряд ядер гелия, испущенных за промежуток времени $\Delta t = 15,0$ сут., если начальная энергия покоя всех ядер висмута $E_0 = 9,45 \cdot 10^{10}$ Дж.

Дано:
Изотоп: висмут-210 ($^{210}_{83}\text{Bi}$)
Период полураспада, $T_{1/2} = 5,0$ сут.
Промежуток времени, $\Delta t = 15,0$ сут.
Начальная энергия покоя ядер, $E_0 = 9,45 \cdot 10^{10}$ Дж
Массовое число висмута, $A = 210$
Атомная единица массы, $u \approx 1,66 \cdot 10^{-27}$ кг
Элементарный заряд, $e \approx 1,6 \cdot 10^{-19}$ Кл
Скорость света в вакууме, $c \approx 3 \cdot 10^8$ м/с

Перевод в СИ:
$T_{1/2} = 5,0 \text{ сут.} = 5,0 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 4,32 \cdot 10^5 \text{ с}$
$\Delta t = 15,0 \text{ сут.} = 15,0 \cdot 24 \cdot 3600 \text{ с} = 1,296 \cdot 10^6 \text{ с}$
Все остальные величины даны в СИ.

Найти:
$Q_{\alpha}$ - суммарный заряд ядер гелия (α-частиц).

Решение:
Суммарный заряд $Q_{\alpha}$ испущенных ядер гелия (α-частиц) равен произведению числа распавшихся ядер висмута $\Delta N$ на заряд одной α-частицы $q_{\alpha}$.
$Q_{\alpha} = \Delta N \cdot q_{\alpha}$
α-частица является ядром атома гелия $^{4}_{2}\text{He}$, поэтому её заряд равен удвоенному элементарному заряду:
$q_{\alpha} = 2e$
Число распавшихся ядер $\Delta N$ можно найти как разность между начальным числом ядер $N_0$ и числом нераспавшихся ядер $N(\Delta t)$ к моменту времени $\Delta t$.
$\Delta N = N_0 - N(\Delta t)$
Согласно закону радиоактивного распада:
$N(\Delta t) = N_0 \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}$
Следовательно, число распавшихся ядер:
$\Delta N = N_0 - N_0 \cdot 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}} = N_0 \left(1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}\right)$
Начальное число ядер $N_0$ найдем из начальной энергии покоя всех ядер $E_0$. Энергия покоя одного ядра $E_1 = mc^2$, где $m$ - масса ядра. Тогда $E_0 = N_0 \cdot mc^2$.
Массу ядра висмута-210 можно аппроксимировать как произведение его массового числа $A=210$ на атомную единицу массы $u$.
$m \approx A \cdot u$
Тогда начальное число ядер:
$N_0 \approx \frac{E_0}{A \cdot u \cdot c^2}$
Объединим формулы для суммарного заряда:
$Q_{\alpha} = \Delta N \cdot 2e \approx \frac{E_0}{A \cdot u \cdot c^2} \left(1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}}\right) \cdot 2e$
Рассчитаем долю распавшихся ядер:
$1 - 2^{-\frac{\Delta t}{T_{1/2}}} = 1 - 2^{-\frac{15,0}{5,0}} = 1 - 2^{-3} = 1 - \frac{1}{8} = \frac{7}{8} = 0,875$
Теперь подставим числовые значения в итоговую формулу:
$Q_{\alpha} \approx \frac{9,45 \cdot 10^{10} \text{ Дж}}{210 \cdot 1,66 \cdot 10^{-27} \text{ кг} \cdot (3 \cdot 10^8 \text{ м/с})^2} \cdot 0,875 \cdot (2 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Кл})$
$Q_{\alpha} \approx \frac{9,45 \cdot 10^{10}}{3,1374 \cdot 10^{-8}} \cdot 0,875 \cdot 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
$Q_{\alpha} \approx (3,012 \cdot 10^{18}) \cdot 0,875 \cdot 3,2 \cdot 10^{-19} \text{ Кл}$
$Q_{\alpha} \approx 8,43 \cdot 10^{-1} \text{ Кл} \approx 0,84 \text{ Кл}$

Ответ: суммарный заряд испущенных ядер гелия примерно равен $0,84 \text{ Кл}$.