Номер 1002, страница 279 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1002. В марсоходах Curiosity (Любопытство) и Perseverance (Настойчивость) (США) в качестве источника энергии используется $m = 4,8$ кг диоксида плутония $^{238}_{94}\text{Pu}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 88$ лет. При $\alpha$-распаде одного ядра плутония-238 выделяется энергия $Q = 5,6$ МэВ. Теплота, выделяемая в ядерном топливе, преобразуется в электроэнергию с помощью термоэлектрического генератора, в котором нет движущихся частей. В начале работы марсохода электрическая мощность генератора $P_0 = 110$ Вт. Определите:

а) электрическую мощность генератора через 11 лет работы;

б) ядро какого элемента получается при $\alpha$-распаде ядра плутония;

в) КПД генератора, если в начале работы в одном грамме диоксида плутония происходило $5,6 \cdot 10^{11}$ $\alpha$-распадов.

Дано:

$m = 4,8$ кг (масса диоксида плутония $PuO_2$)

$T_{1/2} = 88$ лет (период полураспада $^{238}Pu$)

$Q = 5,6$ МэВ (энергия одного $\alpha$-распада)

$P_0 = 110$ Вт (начальная электрическая мощность)

$t = 11$ лет (время работы)

$A_{1г} = 5,6 \cdot 10^{11}$ с$^{-1}$ (начальная активность 1 г $PuO_2$)

Перевод в систему СИ:

$m = 4,8$ кг

$T_{1/2} = 88 \text{ лет} = 88 \cdot 3,1536 \cdot 10^7 \text{ с} \approx 2,775 \cdot 10^9$ с

$Q = 5,6 \text{ МэВ} = 5,6 \cdot 10^6 \cdot 1,602 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} \approx 8,97 \cdot 10^{-13}$ Дж

$P_0 = 110$ Вт

$t = 11 \text{ лет} = 11 \cdot 3,1536 \cdot 10^7 \text{ с} \approx 3,469 \cdot 10^8$ с

$m_{1г} = 1 \text{ г} = 10^{-3}$ кг

Найти:

а) $P(t)$ — электрическую мощность через 11 лет.

б) Ядро, получающееся при $\alpha$-распаде плутония-238.

в) $\eta$ — КПД генератора.

Решение:

а) Электрическая мощность генератора прямо пропорциональна его тепловой мощности, которая, в свою очередь, пропорциональна активности радиоактивного источника (количеству распадов в секунду). Активность со временем уменьшается по закону радиоактивного распада. Следовательно, электрическая мощность также будет уменьшаться по этому закону.

Закон радиоактивного распада для мощности можно записать в виде:

$P(t) = P_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

Подставим известные значения времени $t = 11$ лет и периода полураспада $T_{1/2} = 88$ лет:

$P(11) = 110 \text{ Вт} \cdot 2^{-\frac{11}{88}} = 110 \cdot 2^{-1/8}$

Вычислим значение $2^{-1/8}$:

$2^{-1/8} = \frac{1}{\sqrt[8]{2}} \approx \frac{1}{1,0905} \approx 0,917$

Теперь найдем мощность:

$P(11) \approx 110 \cdot 0,917 \approx 100,87$ Вт.

Округляя, получаем $P(11) \approx 101$ Вт.

Ответ: Электрическая мощность генератора через 11 лет составит примерно 101 Вт.

б) Альфа-распад ($\alpha$-распад) — это вид радиоактивного распада ядра, при котором испускается альфа-частица ($\alpha$), представляющая собой ядро атома гелия $^4_2He$. Реакция распада ядра плутония-238 ($^{238}_{94}Pu$) выглядит следующим образом:

$^{238}_{94}Pu \rightarrow ^A_Z X + ^4_2He$

Согласно законам сохранения массового числа и заряда:

Сохранение массового числа (верхний индекс): $238 = A + 4 \implies A = 238 - 4 = 234$.

Сохранение заряда (нижний индекс): $94 = Z + 2 \implies Z = 94 - 2 = 92$.

Элемент с порядковым номером $Z=92$ в периодической таблице Менделеева — это Уран (U).

Таким образом, в результате $\alpha$-распада ядра плутония-238 образуется ядро урана-234 ($^{234}_{92}U$).

Ответ: При $\alpha$-распаде ядра плутония-238 получается ядро урана-234 ($^{234}_{92}U$).

в) Коэффициент полезного действия (КПД) генератора определяется как отношение полезной (электрической) мощности к затраченной (тепловой) мощности:

$\eta = \frac{P_{электрическая}}{P_{тепловая}} \cdot 100\%$

Нам дана начальная электрическая мощность $P_0 = 110$ Вт. Найдем начальную тепловую мощность $P_{тепл,0}$, выделяемую всем ядерным топливом.

Тепловая мощность равна произведению активности источника $A_0$ на энергию, выделяющуюся при одном распаде $Q$.

$P_{тепл,0} = A_0 \cdot Q$

Из условия известно, что в начальный момент времени в 1 грамме диоксида плутония происходило $A_{1г} = 5,6 \cdot 10^{11}$ распадов в секунду. Общая масса топлива $m = 4,8$ кг = 4800 г. Тогда общая начальная активность всего топлива:

$A_0 = A_{1г} \cdot m = (5,6 \cdot 10^{11} \text{ с}^{-1}/\text{г}) \cdot 4800 \text{ г} = 2688 \cdot 10^{11} \text{ с}^{-1} = 2,688 \cdot 10^{15}$ с$^{-1}$ (или Бк).

Теперь рассчитаем начальную тепловую мощность, переведя энергию распада $Q$ в Джоули:

$Q = 5,6 \text{ МэВ} = 5,6 \cdot 10^6 \cdot 1,6 \cdot 10^{-19} \text{ Дж} = 8,96 \cdot 10^{-13}$ Дж.

$P_{тепл,0} = (2,688 \cdot 10^{15} \text{ с}^{-1}) \cdot (8,96 \cdot 10^{-13} \text{ Дж}) \approx 2408,5$ Вт.

Теперь можно найти КПД генератора:

$\eta = \frac{P_0}{P_{тепл,0}} = \frac{110 \text{ Вт}}{2408,5 \text{ Вт}} \approx 0,0457$

В процентах это составляет:

$\eta \approx 4,57\%$

Ответ: КПД генератора составляет примерно 4,6%.