Номер 1001, страница 279 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

1001. *В природном калии кроме стабильного нуклида ${}^{39}_{19}\text{K}$ содержится $\beta^{-}$-активный нуклид ${}^{40}_{19}\text{K}$. По этой причине в 1 г природного калия ежесекундно происходит 31 $\beta^{-}$-распад.

А) Сколько граммов калия содержится в одном банане, если в нем ежесекундно происходит 19 $\beta^{-}$-распадов?

Б) Почему при частом употреблении в пищу бананов не происходит накопление радиоактивного калия в организме? Укажите правильный ответ: 1) здоровый организм прекрасно разрушает радиоактивные вещества; 2) радиоактивный калий нейтрализуется под действием желудочного сока; 3) калий является чуждым для организма элементом, поэтому быстро выводится из организма; 4) количество калия в организме поддерживается постоянным, и его избыток выводится почками; 5) период полураспада калия очень мал, и весь радиоактивный калий быстро распадается.

В) Какой элемент получается в результате $\beta^{-}$-распада ${}^{40}_{19}\text{K}$?

Г) Считая скорость распада постоянной, определите, сколько лет будет распадаться 1 % атомов ${}^{40}_{19}\text{K}$, содержащихся в 1 г природного калия, если на один атом радиоактивного калия приходится 9000 атомов стабильных атомов калия.

Д) Определите период полураспада ${}^{40}_{19}\text{K}$.

А) Сколько граммов калия содержится в одном банане, если в нем ежесекундно происходит 19 β⁻-распадов?

Дано:

Активность 1 г калия: $A_1 = 31 \text{ распад/с}$

Масса калия: $m_1 = 1 \text{ г}$

Активность калия в банане: $A_2 = 19 \text{ распад/с}$

Найти:

Массу калия в банане $m_2$ - ?

Решение:

Активность (число распадов в секунду) радиоактивного образца прямо пропорциональна количеству радиоактивных атомов, а следовательно, и общей массе природного элемента, в котором они содержатся. Поэтому мы можем составить пропорцию:

$\frac{A_1}{m_1} = \frac{A_2}{m_2}$

Из этой пропорции выразим искомую массу калия в банане $m_2$:

$m_2 = m_1 \cdot \frac{A_2}{A_1}$

Подставим известные значения из условия задачи:

$m_2 = 1 \text{ г} \cdot \frac{19}{31} \approx 0.613 \text{ г}$

Ответ: В одном банане содержится примерно 0.613 г калия.

Б) Почему при частом употреблении в пищу бананов не происходит накопление радиоактивного калия в организме? Укажите правильный ответ: 1) здоровый организм прекрасно разрушает радиоактивные вещества; 2) радиоактивный калий нейтрализуется под действием желудочного сока; 3) калий является чуждым для организма элементом, поэтому быстро выводится из организма; 4) количество калия в организме поддерживается постоянным, и его избыток выводится почками; 5) период полураспада калия очень мал, и весь радиоактивный калий быстро распадается.

Решение:

Радиоактивный распад является ядерным процессом, и на его скорость не могут повлиять химические реакции в организме, такие как пищеварение (варианты 1 и 2 неверны). Калий — это жизненно важный элемент для человека, а не чуждый (вариант 3 неверен). Период полураспада калия-40 составляет более миллиарда лет, поэтому он распадается очень медленно (вариант 5 неверен).

Правильный ответ — 4. Организм человека поддерживает гомеостаз, то есть постоянство внутренней среды. Концентрация калия в организме строго регулируется. Любой избыток калия, независимо от того, является ли он стабильным изотопом $^{39}\text{K}$ или радиоактивным $^{40}\text{K}$, выводится из организма, в основном через почки. Таким образом, опасного накопления радиоактивного калия не происходит.

Ответ: 4) количество калия в организме поддерживается постоянным, и его избыток выводится почками.

В) Какой элемент получается в результате β⁻-распада $^{40}_{19}\text{K}$?

Решение:

Бета-минус (β⁻) распад — это процесс, при котором нейтрон в ядре атома превращается в протон, при этом испускается электрон ($^{0}_{-1}e$) и электронное антинейтрино. В результате этого процесса массовое число ядра ($A$) не изменяется, а его зарядовое число ($Z$) увеличивается на единицу.

Запишем уравнение ядерной реакции для β⁻-распада калия-40:

$^{40}_{19}\text{K} \rightarrow ^{A}_{Z}\text{X} + ^{0}_{-1}e + \bar{\nu}_e$

Применяя законы сохранения массового и зарядового чисел, получаем:

Для массового числа: $40 = A + 0 \Rightarrow A = 40$.

Для зарядового числа: $19 = Z - 1 \Rightarrow Z = 20$.

Элемент с атомным номером $Z=20$ в периодической таблице — это кальций (Ca). Следовательно, образуется изотоп кальция-40.

Ответ: В результате β⁻-распада $^{40}_{19}\text{K}$ получается кальций ($^{40}_{20}\text{Ca}$).

Г) Считая скорость распада постоянной, определите, сколько лет будет распадаться 1 % атомов $^{40}_{19}\text{K}$, содержащихся в 1 г природного калия, если на один атом радиоактивного калия приходится 9000 атомов стабильных атомов калия.

Дано:

$m = 1 \text{ г} = 10^{-3} \text{ кг}$

$A = 31 \text{ распад/с}$

Доля распавшихся атомов: $\frac{\Delta N}{N_0} = 1 \% = 0.01$

Соотношение атомов: $\frac{N_{стаб}}{N_{радио}} = 9000$

Молярная масса калия: $M \approx 39.1 \text{ г/моль} = 39.1 \cdot 10^{-3} \text{ кг/моль}$

Число Авогадро: $N_A \approx 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1}$

Найти:

Время распада $\Delta t$ - ? (в годах)

Решение:

1. Сначала найдем общее число атомов калия ($N_{общ}$) в 1 грамме:

$N_{общ} = \frac{m}{M} N_A = \frac{1 \text{ г}}{39.1 \text{ г/моль}} \cdot 6.022 \cdot 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 1.54 \cdot 10^{22} \text{ атомов}$

2. Теперь найдем начальное число $N_0$ радиоактивных атомов $^{40}\text{K}$. Согласно условию, на 1 радиоактивный атом приходится 9000 стабильных, значит, в общей сложности на 9001 атом приходится 1 радиоактивный. Доля $^{40}\text{K}$ составляет $\frac{1}{9001}$.

$N_0 = N_{общ} \cdot \frac{1}{9001} = 1.54 \cdot 10^{22} \cdot \frac{1}{9001} \approx 1.71 \cdot 10^{18} \text{ атомов}$

3. Найдем число атомов, которые должны распасться ($\Delta N$), что составляет 1% от $N_0$:

$\Delta N = 0.01 \cdot N_0 = 0.01 \cdot 1.71 \cdot 10^{18} = 1.71 \cdot 10^{16} \text{ атомов}$

4. Так как период полураспада $^{40}\text{K}$ очень велик, при распаде небольшой доли атомов (1%) можно считать скорость распада (активность $A$) постоянной. Время распада $\Delta t$ равно отношению числа распавшихся атомов к скорости распада:

$\Delta t = \frac{\Delta N}{A} = \frac{1.71 \cdot 10^{16} \text{ атомов}}{31 \text{ атомов/с}} \approx 5.516 \cdot 10^{14} \text{ с}$

5. Переведем полученное время из секунд в годы (1 год $\approx 3.156 \cdot 10^7$ с):

$\Delta t (\text{лет}) = \frac{5.516 \cdot 10^{14} \text{ с}}{3.156 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 1.75 \cdot 10^7 \text{ лет}$

Ответ: 1 % атомов $^{40}_{19}\text{K}$ распадется примерно за $1.75 \cdot 10^7$ лет (17.5 миллионов лет).

Д) Определите период полураспада $^{40}_{19}\text{K}$.

Дано:

Активность 1 г калия: $A = 31 \text{ распад/с}$

Число атомов $^{40}\text{K}$ в 1 г калия (из пункта Г): $N_0 \approx 1.71 \cdot 10^{18} \text{ атомов}$

Найти:

Период полураспада $T_{1/2}$ - ?

Решение:

1. Активность образца $A$ связана с числом радиоактивных ядер $N_0$ и постоянной распада $\lambda$ формулой: $A = \lambda N_0$.

Отсюда можно выразить постоянную распада:

$\lambda = \frac{A}{N_0} = \frac{31 \text{ с}^{-1}}{1.71 \cdot 10^{18}} \approx 1.813 \cdot 10^{-17} \text{ с}^{-1}$

2. Период полураспада $T_{1/2}$ связан с постоянной распада $\lambda$ следующим соотношением:

$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda}$

Подставим найденное значение $\lambda$ и значение $\ln 2 \approx 0.693$:

$T_{1/2} = \frac{0.693}{1.813 \cdot 10^{-17} \text{ с}^{-1}} \approx 3.82 \cdot 10^{16} \text{ с}$

3. Переведем период полураспада в годы, зная, что в году примерно $3.156 \cdot 10^7$ секунд:

$T_{1/2} (\text{лет}) = \frac{3.82 \cdot 10^{16} \text{ с}}{3.156 \cdot 10^7 \text{ с/год}} \approx 1.21 \cdot 10^9 \text{ лет}$

Ответ: Период полураспада $^{40}_{19}\text{K}$ составляет примерно $1.21 \cdot 10^9$ лет (1.21 миллиарда лет).