Номер 992, страница 277 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

992. При распаде полония ${}^{210}_{84}\text{Po}$, период полураспада которого $T_{1/2} = 138$ сут., образуются стабильные ядра свинца ${}^{207}_{82}\text{Pb}$. Определите массу свинца, образовавшегося за время $t = 276$ сут., если начальная масса полония $m_0 = 1,4$ мг.

Дано:

Изотоп полония: $_{84}^{210}\text{Po}$

Изотоп свинца: $_{82}^{207}\text{Pb}$

Период полураспада полония: $T_{1/2} = 138 \text{ сут.}$

Время распада: $t = 276 \text{ сут.}$

Начальная масса полония: $m_0 = 1,4 \text{ мг}$

---

Перевод в систему СИ:

$m_0 = 1,4 \text{ мг} = 1,4 \times 10^{-6} \text{ кг}$

$T_{1/2} = 138 \text{ сут} = 138 \cdot 86400 \text{ с} = 11923200 \text{ с}$

$t = 276 \text{ сут} = 276 \cdot 86400 \text{ с} = 23846400 \text{ с}$

Найти:

Массу образовавшегося свинца $m_{\text{Pb}}$.

Решение:

Закон радиоактивного распада определяет массу $m(t)$ вещества, оставшегося нераспавшимся через время $t$:

$m(t) = m_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}$

где $m_0$ — начальная масса вещества, а $T_{1/2}$ — его период полураспада.

Найдем массу полония, которая осталась через время $t = 276$ суток:

$m_{\text{Po}} = 1,4 \text{ мг} \cdot 2^{-\frac{276 \text{ сут}}{138 \text{ сут}}} = 1,4 \text{ мг} \cdot 2^{-2} = 1,4 \text{ мг} \cdot \frac{1}{4} = 0,35 \text{ мг}$

Масса полония, которая распалась за это время, равна разности начальной и оставшейся массы:

$\Delta m_{\text{Po}} = m_0 - m_{\text{Po}} = 1,4 \text{ мг} - 0,35 \text{ мг} = 1,05 \text{ мг}$

При распаде одного ядра полония $_{84}^{210}\text{Po}$ образуется одно ядро свинца $_{82}^{207}\text{Pb}$. Это означает, что количество распавшихся ядер полония равно количеству образовавшихся ядер свинца. Следовательно, количество вещества (число молей) распавшегося полония $n_{\text{Po, расп.}}$ равно количеству вещества образовавшегося свинца $n_{\text{Pb}}$:

$n_{\text{Po, расп.}} = n_{\text{Pb}}$

Количество вещества $n$ связано с массой $m$ и молярной массой $M$ соотношением $n = \frac{m}{M}$. Таким образом, можно записать:

$\frac{\Delta m_{\text{Po}}}{M_{\text{Po}}} = \frac{m_{\text{Pb}}}{M_{\text{Pb}}}$

Отсюда можно выразить массу образовавшегося свинца $m_{\text{Pb}}$:

$m_{\text{Pb}} = \Delta m_{\text{Po}} \cdot \frac{M_{\text{Pb}}}{M_{\text{Po}}}$

Молярные массы изотопов с высокой точностью пропорциональны их массовым числам. Для полония-210 $M_{\text{Po}} \approx 210$ г/моль, а для свинца-207 $M_{\text{Pb}} \approx 207$ г/моль.

Подставим численные значения и рассчитаем массу свинца:

$m_{\text{Pb}} = 1,05 \text{ мг} \cdot \frac{207}{210} = 1,035 \text{ мг}$

Ответ: масса образовавшегося свинца составляет 1,035 мг.