Номер 986, страница 275 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

986. Источник радиоактивного излучения содержит $m_0 =$

= 720 мг полония $^{209}_{84}\text{Po}$, период полураспада которого

$T_{1/2} = 102$ года. Определите число ядер полония, которые распадутся за время $t = 408$ лет.

Дано:

$m_0 = 720$ мг

$T_{1/2} = 102$ года

$t = 408$ лет

Изотоп: $^{209}_{84}\text{Po}$

Число Авогадро $N_A = 6.022 \times 10^{23}$ моль$^{-1}$

$m_0 = 720 \times 10^{-6}$ кг = $7.2 \times 10^{-4}$ кг

Молярная масса полония-209 $M(^{209}\text{Po}) \approx 209$ г/моль = $0.209$ кг/моль

Найти:

$\Delta N$ - число распавшихся ядер полония.

Решение:

1. Найдем начальное число ядер полония ($N_0$) в источнике. Это можно сделать, используя начальную массу образца ($m_0$), молярную массу полония ($M$) и число Авогадро ($N_A$):

$N_0 = \frac{m_0}{M} \cdot N_A$

Для удобства расчетов переведем массу в граммы:

$m_0 = 720 \text{ мг} = 0.72 \text{ г}$

Подставим значения в формулу:

$N_0 = \frac{0.72 \text{ г}}{209 \text{ г/моль}} \cdot 6.022 \times 10^{23} \text{ моль}^{-1} \approx 2.075 \times 10^{21}$ ядер

2. Определим, какая часть ядер останется нераспавшейся через время $t$. Воспользуемся законом радиоактивного распада:

$N = N_0 \cdot 2^{-t/T_{1/2}}$

где $N$ - число нераспавшихся ядер в момент времени $t$.

Найдем, сколько периодов полураспада прошло за данное время:

$\frac{t}{T_{1/2}} = \frac{408 \text{ лет}}{102 \text{ года}} = 4$

Это означает, что прошло 4 периода полураспада.

Тогда число оставшихся (нераспавшихся) ядер равно:

$N = N_0 \cdot 2^{-4} = N_0 \cdot \frac{1}{16}$

3. Число распавшихся ядер ($\Delta N$) равно разности между начальным числом ядер и числом нераспавшихся ядер:

$\Delta N = N_0 - N = N_0 - \frac{N_0}{16} = \frac{15}{16}N_0$

4. Подставим найденное значение $N_0$ для вычисления $\Delta N$:

$\Delta N = \frac{15}{16} \cdot (2.075 \times 10^{21}) \approx 1.945 \times 10^{21}$ ядер

Округлим результат до трех значащих цифр, как в исходных данных.

$\Delta N \approx 1.95 \times 10^{21}$

Ответ: число ядер полония, которые распадутся за 408 лет, составляет примерно $1.95 \times 10^{21}$.