Номер 984, страница 275 - гдз по физике 11 класс сборник задач Дорофейчик, Силенков

984. Количество радиоактивных ядер углерода $_{6}^{14}\text{C}$ в найденном при раскопках куске дерева уменьшилось в $n = 8$ раз по сравнению с живым деревом. Определите возраст этого куска дерева, если период полураспада углерода $T_{1/2} = 5700$ лет.

Дано:

$ \frac{N_0}{N} = 8 $

$ T_{1/2} = 5700 $ лет

Найти:

$t$

Решение:

Закон радиоактивного распада описывает зависимость числа нераспавшихся радиоактивных ядер $N$ от времени $t$:

$ N = N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}} $

где $N_0$ — начальное число радиоактивных ядер, $T_{1/2}$ — период полураспада.

Из условия задачи следует, что количество радиоактивных ядер уменьшилось в 8 раз, то есть отношение начального числа ядер к конечному равно 8:

$ \frac{N_0}{N} = 8 $

Выразим это же отношение из формулы закона радиоактивного распада:

$ \frac{N_0}{N} = \frac{N_0}{N_0 \cdot 2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}} = \frac{1}{2^{-\frac{t}{T_{1/2}}}} = 2^{\frac{t}{T_{1/2}}} $

Теперь мы можем приравнять два выражения для отношения $ \frac{N_0}{N} $:

$ 2^{\frac{t}{T_{1/2}}} = 8 $

Представим число 8 в виде степени с основанием 2:

$ 8 = 2^3 $

Подставим это в наше уравнение:

$ 2^{\frac{t}{T_{1/2}}} = 2^3 $

Поскольку основания степеней равны, то и их показатели должны быть равны:

$ \frac{t}{T_{1/2}} = 3 $

Отсюда выразим искомый возраст куска дерева $t$:

$ t = 3 \cdot T_{1/2} $

Подставим известное значение периода полураспада углерода-14:

$ t = 3 \cdot 5700 \text{ лет} = 17100 \text{ лет} $

Ответ: 17100 лет.